L1 - PC

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Dans ${\Bbb R}^3$ muni de la base orthonormée $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les vecteurs : $$\overrightarrow{u}(1,-2,3),\overrightarrow{v}(2,-1,3),\overrightarrow{w}(3,2,-1)\,.$$

1. Calculer les produits scalaires :
   1. $\overrightarrow{u}.(2\overrightarrow{v}+3\overrightarrow{w})$
   2. $(\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{w}).\overrightarrow{k}$
2. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont-ils perpendiculaires ?
3. Déterminer une base orthonormée du plan (passant par l'origine) engendré par la base $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
4. Caractériser les vecteurs orthogonaux aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.
5. Caractériser les vecteurs orthogonaux au vecteur $\overrightarrow{u}$.
6. Calculer les produits vectoriels :
   1. $\overrightarrow{u}\wedge (2\overrightarrow{v}+3\overrightarrow{w})$
   2. $(\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{w})\wedge\overrightarrow{k}$

1. Déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point $(1,2,3)$ et perpendiculaire au vecteur $(-1,0,2)$.
2. Ce plan est-il perpendiculaire au plan d'équation $x-2y+z=7$ ?

Soit $A=(1,0,0)$, $B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$ et $C=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},0)$.

1. Montrer que $ABC$ est un triangle équilatéral.
2. Trouver un nombre réel $h>0$ tel que $D=(0,0,h)$ vérifie $DA=AB$. Montrer que $ABCD$ est un téraèdre régulier.
3. Soit $O=\dfrac{A+B+C+D}{4}$ le centre du tétraèdre. Calculer la longueur $OA$ et le produit scalaire $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$. En déduire la valeur de $\cos(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}})$, et une valeur approchée en degrés de l'angle $(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}})$.

Soient $A=(1,2,3)$, $B=(-1,0,1)$ et $C=(1,1,1)$.

1. Déterminer un vecteur normal au plan passant par $A,B,C$ de norme 1.
2. Déterminer l'aire du triangle $ABC$.
3. Soit $D=(-2,1,0)$. Ce point appartient-il au plan $ABC$ ? Si non, déterminer son projeté orthogonal sur le plan $ABC$.

On rappelle que si $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ sont des vecteurs alors $$ \overrightarrow{a}\wedge (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}) \overrightarrow{b}- (\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}) \overrightarrow{c}\,. $$

1. Simplifier les expressions $(\overrightarrow{a}\wedge (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{c})) \wedge \overrightarrow{a}$ et $((\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b})\wedge \overrightarrow{c})\wedge \overrightarrow{a}$.
2. En déduire qu'on a en général $\overrightarrow{a}\wedge (\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{c}) \ne (\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b})\wedge \overrightarrow{c}$.

Trouver la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants : $$ (1+i)^2\,,\quad (1-i)^2\,,\quad (1+i)(1-i)\,,\quad {1\over i}\,,\quad {{1+i}\over {1-i}}\,. $$

Trouver le module et un argument des nombres complexes suivants : $$ 1+i\,,\quad 1-i\,,\quad 1+i{\sqrt{3}}\,,\quad {\sqrt{3}}+i\,,\quad {\sqrt{6}}-i{\sqrt{2}}\,,\quad (1+i)(1-i)\,,\quad {{1+i}\over {1-i}}\,. $$

Simplifier les nombres complexes suivants : $$ \Bigl({{3{\sqrt{3}}-i}\over {{\sqrt{3}}+2i}}\Bigr)^{25} \,,\quad {{(1+i)^4}\over {(1-i)^3}}+{{(1-i)^4}\over {(1+i)^3}} \,, \quad (1+i)^{20}+(1-i)^{20}\,,\quad ({1+i{\sqrt{3}}})^9 + ({1-i{\sqrt{3}}})^{9} \,. $$

Calculer les racines carrées (sous forme algébrique) des nombres complexes suivants : $$ 2i\,,\quad 5+12i\,,\quad 4i-3\,,\quad 8i-15\,,\quad -9+40i\,,\quad {1\over{\sqrt{2}}}(1+i)\,,\quad 1+i{\sqrt{3}}\,,\quad {{1+i}\over{1-i}}\,. $$

Calculer les racines carrées (sous forme trigonométrique) des nombres complexes suivants : $$ 1\,,\quad i\,,\quad 1+i\,,\quad -1-i\,,\quad -1-i{\sqrt{3}}\,,\quad -1+i{\sqrt{3}}\,,\quad \sin 2+i\cos 2 $$

Calculer les racines cubiques (sous forme trigonométrique) des nombres complexes suivants : $$ -i\,,\quad -1\,,\quad -1+i\,,\quad -1-i\,,\quad 1-i{\sqrt{3}}\,,\quad 1+i{\sqrt{3}}\,,\quad {{1+i{\sqrt{3}}}\over{1-i{\sqrt{3}}}} \,. $$

Vérifier les formules suivantes :

1. $\cos(x+y)= \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$
2. $\sin(x+y)= \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$
3. $\cos x + \cos y=2\cos({x+y\over 2})\cos({x-y\over 2})$
4. $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$
5. $\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)$
6. $\cos({\pi\over 2}-x)=\sin(x)$
7. $\sin({\pi\over 2}-x)=\cos(x)$
8. $\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$

Calculer les racines cubiques (sous forme trigonométrique) des nombres complexes suivants : $$ -i\,,\quad -1\,,\quad -1+i\,,\quad -1-i\,,\quad 1-i{\sqrt{3}}\,,\quad 1+i{\sqrt{3}}\,,\quad {{1+i{\sqrt{3}}}\over{1-i{\sqrt{3}}}} \,. $$

1. Calculer les racines quatrième de $i$ sous forme trigonométrique et algébrique.
2. En déduire les valeurs de $\cos{{\pi}\over{8}}$ et $\sin {{\pi}\over{8}}$.

Soient 3 points $A,B,C$ du plan d'affixes respectives: $$1+i\,, 2+3i \quad \mathrm{et} \quad -1+ai $$ où $a$ est un réel.

1. Déterminer $a$ tel que $A,B,C$ soient alignés.
2. Déterminer $a$ tel que $A,B,C$ soient les sommets d'un triangle rectangle en $B$.

1. Trouver les nombres complexes $z$ qui vérifient : les images de $1$, $z$ et ${1\over z}$ sont alignées.
2. Même question pour $i$, $z$ et $iz$.
3. Trouver les nombres complexes $z$ qui vérifient : les images de $z$, $z^2$ et $z^3$ forment un triangle rectangle.

Résoudre les systèmes suivants. \begin{align} (1)\qquad \left\{ \begin{aligned} 3x\ & - & y\ & = & 6\\ x\ & + & y\ & = & - 2.\\ \end{aligned} \right. \\ (2)\qquad \left\{ \begin{aligned} 2x\ & - & y\ & = & 4\\ - x\ & + & \frac 12 y\ & = & 3\\ \end{aligned} \right. \\ (3) \qquad \left\{ \begin{aligned} x\ & - & y\ & = & 3\\ - 5x\ & + & 5y\ & = & - 15\\ \end{aligned} \right. \end{align}

Résoudre les systèmes suivants. \begin{align} (1) \qquad \left\{ \begin{aligned} x\ & - & y\ & - & z\ & = & 6\\ x \ & - & 2y\ & - & 3z\ & = & 10\\ 5x\ & + & 6y\ & + &z\ & = & 2.\\ \end{aligned} \right. \\ (2) \qquad \left\{ \begin{aligned} x\ & + & 2y\ & + &z\ & = & 8\\ 2x\ & + &y\ & - & z\ & = & 1\\ 3x\ & - &y\ & 2 &2z\ & = & 7.\\ \end{aligned} \right. \\ (3) \qquad \left\{ \begin{aligned} x\ & + &2y\ & +&z\ & = &1\\ 2x\ & + &y\ & - & z\ & = & - 1\\ 3x\ & + &4y\ & - &z\ & =& - 3\\ \end{aligned} \right. \end{align}

Quelle quantité de lait contenant $1,5\%$ de matières grasses doit on mélanger avec de la crème contenant $30\%$ de matières grasse pour obtenir $10$ litres de lait contenant $4,5\%$ de matières grasse ?

En utilisant un système d'équations linéaires, équilibrer la réaction chimique \begin{equation*} {\rm Al} ({\rm OH})_3 +{\rm H}_2 {\rm SO}_4 \longrightarrow {\rm Al}_2 ({\rm SO}_4)_3 + {\rm H}_2 {\rm O} \, . \end{equation*}

1. Etudier les variations de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{−3\exp(x)+2}{exp(x) − 1}$ domaine de définition.
2. Etudier la limite en $+\infty$ de la fonction $f$ en remarquant que $f(x) = -\frac1{\exp(x) − 1} − 3$. Déterminer également la limite en $-\infty$.
3. Montrer que le point $\Omega(0,−5/2)$ est centre de symétrie de la courbe de $f$.
4. Tracer dans un rep`ere orthonorm ́e le graphe de f, ainsi que ses asymptotes.
5. Résoudre $f(x) = 0$.

Etudier $f(x) = \frac12 \log\left( \frac{1+x}{1 - x}\right)$. Montrer que $f$ est la fonction réciproque de la fonction $\tanh$ définie par $\tanh(x) = \frac{\exp x − exp(−x)}{ exp x + exp(−x)}$.

1. Etudier les variations de la fonction $f$ définie par $f(x) = −x + \log(x + 1) − \log x$ sur son domaine de définition.
2. Démontrer que la courbe de $f$ est asymptote à la droite d’équation $y = −x$ et étudier sa position par rapport à cette droite.
3. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ a une unique solution entre $0.5$ et $1$.
4. Soit la fonction h définie par: $$ h(x) = −x + \log \left( \frac{x-1}{x} \right) $$ Etudier les variations de la fonction $h$ sur son domaine de définition.
5. Montrer que le point $\Omega(−1/2, 1/2)$ est centre de symétrie de la courbe de $h$.
6. Etudier la convexité des graphes de $f$ et $h$.
7. Tracer dans un même repère orthonormé les graphes de $f$ et $h$, ainsi que leurs asymptotes, l’unité étant le centimètre.
8. Déterminer la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$.

Démontrer les égalités suivantes :

1. $\arcsin x + \arccos x = \frac\pi 2$ pour tout $x\in [-1,1]$.
2. $\arcsin x + \arcsin \sqrt{1-x^2} = \frac\pi 2$ pour tout $x\in [0,1]$.

Simplifier les expressions suivantes :

1. $A(x)=\arccos (1-2x^2)$,
2. $B(x)=\arctan \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$,
3. $C(x)=\cos (\arcsin(x))$,
4. $D(x)=\arctan(x)+\arctan \left(\frac1x\right)$,
5. $F(x)=\arccos(\cos(x))+\frac12\arccos(\cos(2x))$,
6. $G(x)=\arccos(\cos(x))$.

Résoudre l’équation: $3\cosh(x) + 2\sinh(x) = 4$.

La quantité $M(t)$ d’une substance radioactive au temps $t$ est donnée par la formule $M(t) = M_0e^{-t/d}$ où $M_0$ est la quantité de substance au temps initial $t = 0$ et $d$ sa demi-vie. La demi-vie du strontium-90 est $25$ ans.

1. Calculer le taux de désintégration radioactive $T(t) = \frac{M'(t)}{M(t)}$.
2. Etudier M(t).

Le modèle de croissance le plus souvent utilisé pour les animaux aquatiques est celui de von Bertalanffy. Selon ce modèle, le poids d’un animal aquatique est lié au temps $t$ (compté à partir de la naissance de l’animal) par la relation $y(t) = A(1 − e^{−Kt})^3$ où $A$ et $K$ sont des constantes strictement positives.

1. Etudier $y(t)$.
2. Donner une interprétation de $A$.

Calculer \begin{gather*} \int_0^{\pi/2}\sin^2x\cos^3x\,dx \qquad \int_0^{\pi/4}\frac{\sin^4x}{\cos^2x}\,dx \\ \int_0^{\pi/3} \frac{\sin(2t)}{1+\cos t}\,dt \qquad \int_0^{\pi/4}\frac{1}{1+\cos^2t}\,dt \\ \int_0^{\pi/4}\frac{\sin(2x)}{1+\cos x}\,dx \qquad \int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2x)+\sin x}{3+\cos(2x)}\,dx \end{gather*}

Calculer $\mathrm{th}(\ln a)$ et puis $$\int_{\ln\sqrt{2}}^{\ln\sqrt{3}} \frac{\mathrm{ch}^2 t + \mathrm{sh}^2 t}{\mathrm{ch}^3t\,\mathrm{sh} t}\,dt $$ en posant $u = \mathrm{th} t$.

Montrer que pour tout $x \in\mathbb{R}$, $$ \left( 1+\cos(2x)\right)^2=\frac{3}{2}+2\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(4x)\,. $$ En déduire une primitive de la fonction $x\mapsto \left( 1+\cos(2x)\right)^2$.

Calculer les primitives suivantes : $$ \int (2x-1)e^x\,dx \,,\quad \int x^2\left(1-2\ln(x)\right)\,dx \,,\quad \int (2t-1)\sin(t)\,dt\,. $$

Calculer les primitives suivantes : \begin{gather*} \int e^x\cos(x)\,dx\,,\quad \int x\ln (x)\,dx \,,\\ \int x^2\ln (x)\,dx\,,\quad \int(x^2+x+1)e^x\,dx\,. \end{gather*}

Soient $$ I=\int (2t-3)\cos^2(t)\,dt \text{ et } J=\int (2t-3)\sin^2(t)\,dt $$

1. Calculer $I+J$.
2. Calculer $I-J$ (en utilisant par exemple une intégration par partie).
3. Calculer $I$ et $J$.

Calculer $$ \int \frac{1}{1+\cosh(x)}\,dx $$

Calculer les primitives suivantes : \begin{gather*} \int \frac{1}{x(x-1)}\,dx\,,\quad \int \frac{dx}{1-x^2}\,,\quad \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+5)}\,dx\,. \\ \int \frac{dx}{x(x^2-1)}\,,\quad \int \frac{dx}{(x+2)(x^2+2x+5)}\,,\quad \int \frac{x^3}{x^2+4}\,dx\,. \end{gather*}

A l'aide du changement de variable $u=\frac{x^2}{3}$, calculer $$\int \frac{x}{x^4+9}\,dx$$

(Changements de variables) Calculer les intégrales suivantes : \begin{gather*} \int_1^4 \frac{1-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\,dt \,,\quad \int_1^2 \frac{e^x}{1+e^x}\,dx\,, \\ \int_1^e \frac{(\ln(x)^n}{x}\,dx\;(n\in\mathbb{N})\,,\quad F(x)=\int_1^x \frac{e^t}{(3+e^t)\sqrt{e^t-1}}\;(x>0). \end{gather*}

On se propose d'intégrer sur l'intervalle le plus grand possible contenu dans $]0,\infty[$ l'équation différentielle : $$ (E) \ \ \ \ \ \ \ y'(x)- \frac{y(x)}{x}-y(x)^2=-9x^2. $$

1. Déterminer $ a \in ]0, \infty[ $ tel que $y(x)=ax$ soit une solution particulière $y_0$ de $(E)$.
2. Montrer que le changement de fonction inconnue : $y(x) = y_0(x)-\frac{1}{z(x)}$ transforme l'équation (E) en l'équation différentielle $$ (E_1) \ \ \ \ \ \ \ z'(x) + (6x+ \frac{1}{x})z(x) =1. $$
3. Intégrer $(E_1)$ sur $]0,\infty[$.
4. Donner toutes les solutions de $(E)$ définies sur $]0,\infty[$.

Résoudre l'équation suivante : $$4y^{\prime\prime}+4y^\prime + 5y = \sin x\, e^{-x/2} .$$

On considère l'équation : $$ y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E) $$

1. Résoudre l'équation différentielle homogène associée à $(E)$.
2. Trouver une solution particulière de $(E)$ (expliquer votre démarche), puis donner l'ensemble de toutes les solutions de $(E)$.
3. Déterminer l'unique solution $h$ de $(E)$ vérifiant $h(0)=1$ et $h(1)=0$.
4. Soit $f : ]0,\infty [ \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction deux fois dérivable sur $]0,\infty [ $ et qui vérifie : $$ t^2f^{\prime \prime}(t) +3tf^\prime (t) + 4f(t) = t\log{t}. $$
   1. On pose $g(x)=f(e^x)$, vérifier que $g$ est solution de $(E)$.
   2. En déduire une expression de $f$.

On considère l'équation différentielle suivante : $$ (E.D.) \quad y''-4y'+4y = d(x), $$ où $d$ est une fonction qui sera précisée plus loin.

1. Résoudre l'équation différentielle homogène (ou sans second membre) associée à $(E.D.)$.
2. Trouver une solution particulière de $(E.D.)$ lorsque $d(x)=e^{-2x}$ et lorsque $d(x)=e^{2x}$ respectivement.
3. Donner la forme générale des solutions de $(E.D)$ lorsque $$d(x) = \frac{e^{-2x}+e^{2x}}{4}.$$

Résoudre : $y^{\prime\prime}(x)+2y^{\prime }(x)+y(x)=2x\cos x\cosh x$.

Déterminer les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ deux fois dérivables telles que : $$\forall x\in \mathbb{R},f''(x)+f(-x)=x\cos x. $$

En posant $t=\arctan x,$ résoudre : $$y^{\prime\prime}(x)+\frac{2x}{1+x^{2}}y^{\prime }(x)+\frac{y(x)}{(1+x^{2})^{2}}=0. $$

Résoudre par le changement de fonction $z=\frac{y}{x} $ l'équation différentielle : $${x^{\prime\prime}}^{2}(x)-2xy^{\prime }(x)+(2-x^{2})y(x)=0. $$