L1 - PC

La norme d'un vecteur représente sa longueur. Elle est donnée par la formule suivante $$ \begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} = \sqrt{x^2+y^2+z^2} $$

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. On a deux façons de le calculer.

1. Analytique $$ \begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} = xx' + yy' + zz' $$
2. Géométrique $$ \mathop{u}\limits^\to\cdot \mathop{v}\limits^\to = \| \mathop{u}\limits^\to\| \cdot \| \mathop{v}\limits^\to\| \cos \left( \widehat{\mathop{u}\limits^\to\,\mathop{v}\limits^\to} \right) $$

Deux vecteurs sont orthogonaux (=perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul. $$ \mathop{u}\limits^\to\perp \mathop{v}\limits^\to \Longleftrightarrow \mathop{u}\limits^\to\cdot \mathop{v}\limits^\to=0 $$

Le produit scalaire de deux vecteurs est un vecteur. On a deux façons équivalentes de le définir.

1. Analytique $$ \begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \\ -(xz'-zx') \\ xy'-yx' \end{pmatrix} $$
2. Géométrique Le vecteur $\mathop{u}\limits^\to\wedge\mathop{v}\limits^\to$ est l'unique vecteur vérifiant les trois propriétés suivantes.
   1. il est orthogonal à $\mathop{u}\limits^\to$ et $\mathop{v}\limits^\to$
   2. la base $(\mathop{u}\limits^\to,\mathop{v}\limits^\to,\mathop{u}\limits^\to\wedge\mathop{v}\limits^\to)$ est directe
   3. la norme est donnée par la formule $$ \|\mathop{u}\limits^\to\wedge\mathop{v}\limits^\to\| = \|\mathop{u}\limits^\to\|\cdot|\mathop{v}\limits^\to\| \left|\sin \left( \widehat{\mathop{u}\limits^\to\,\mathop{v}\limits^\to} \right)\right| $$

Un plan $(P)$ de l'espace possède une équation de la forme $$ ax+by+cz+d=0\,. $$ Le vecteur $\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(P)$.