L1PC

Calculs de primitives

Définitions

Une primitive quelconque de $f$ est notée $\displaystyle \int f(x) dx$.

Primitives de fonctions usuelles

Fonction $f$ définie par	Primitives $F$ de $f$	sur $I$
$f(x) = a$, $a$ constante	$F(x) = ax + c, c \in \mathbb{R}$	$I = \mathbb{R}$
$f(x) = x^\alpha, \alpha \in \mathbb{R}\setminus\{- 1\}$	$F(x) = \frac1{\alpha + 1} x^{\alpha + 1} + c, c \in \mathbb{R}$	suivant $\alpha$
$f(x) = \frac 1x$	$F(x) = Ln(\vert x\vert) + c, c \in \mathbb{R}$	$I = ]- \infty, 0[$ ou $I = ]0, + \infty[$
$f(x) = \sin(x)$	$F(x) = - \cos(x) + c, c \in \mathbb{R}$	$I = \mathbb{R}$
$f(x) = \cos(x)$	$F(x) = \sin(x) + c, c \in \mathbb{R}$	$I = \mathbb{R}$
$f(x) = 1 + \tan^2(x)$	$F(x) = \tan(x) + c, c \in \mathbb{R}$	$I = ] - \frac \pi2 + k\pi, \frac \pi2 + k\pi[, \ k \in \mathbb{Z}$
$f(x) = ch(x)$	$F(x) = sh(x) + c, c \in \mathbb{R}$	$I = \mathbb{R}$
$f(x) = sh(x)$	$F(x) = ch(x) + c, c \in \mathbb{R}$	$I = \mathbb{R}$

Méthodes générales

Changement de variable

La fonction $f$ est de la forme $(g \circ h) h'$, où $h'$ est la fonction dérivée de $h$. Dans ce cas, on effectue le changement de variable $t = h(x)$, on calcule une primitive $G$ de $g$, alors $G\circ h$ est une primitive de $f$.

Intégration par parties

La fonction $f$ est telle que $f(x) = g(x) h'(x)$. Une primitive $F$ de $f$ est alors $gh - F_1$ où $F_1$ est une primitive de la fonction $g'h$.

Primitives se ramenant à $I = \int P(x) e^{ax}, \ a \in \mathbb{C}$ et $P$ est un polynôme

Cas général

1. Si $P$ est un polynôme de degré $n \geq 1$, on applique $n - 1$ fois la formule d'intégration par parties. On obtient un résultat de la forme $$\int e^{ax} P(x) dx = e^{ax} Q(x) + c, \quad \mbox{où}\ Q \quad \mbox{est un polynôme de degré}\ n \quad\mbox{et}\quad c \in \mathbb{R}.$$
2. On peut écrire $$\int e^{ax} P(x) dx = e^{ax} Q(x) + c, \quad \mbox{où}\quad Q \quad \mbox{est un polynôme de degré}\ n, \quad\mbox{et}\quad c \in \mathbb{R}$$ écrire que la dérivée de $x : \mapsto e^{ax} Q(x)$ est la fonction $e^{ax} P(x)$, puis identifier les coefficients.

Primitive de la forme $I = \int P(x) e^{ax} \cos(bx) dx,\ J = \int P(x) e^{ax} \sin(bx) dx$

$P$ est un polynôme de degré $n \geq 1$, $a$ et $b$ sont deux nombres réels. Le résultat obtenu est de la forme (pour $I$ ou $J$) $$I (ou J) = e^{ax}\Bigl(Q(x) \cos(bx) + R(x)\sin(bx)\Bigl)$$ où $Q$ et $R$ sont deux polynômes de degré $n$.

On écrit que la dérivée de l'expression $e^{ax}\Bigl(Q(x) \cos(bx) + R(x)\sin(bx)\Bigl)$ est égale à $P(x) e^{ax} \cos(bx)$ ou $P(x) e^{ax} \sin(bx)$ et identifier pour trouver les polynômes $Q$ et $R$.

Primitives d'une fraction rationnelle

1. La partie polynomiale s'intègre directement.
2. Les termes de la forme $\displaystyle \frac 1{(x - a) ^n}$, où $a$ est un nombre réel et $n$ est un entier naturel non nul. $$\int \frac{dx}{(x - a)^n} = \left\{ \begin{array}{ll} Ln(\vert x - a\vert) + c & si\ \mbox{$n = 1$}\\ \\ \displaystyle \frac 1{(1 - n)(x - a)^{n - 1}} + c & si \mbox{$n > 1$}\\ \end{array} \right.$$
3. Pour les termes de la forme $$\frac{ax + b}{(x^2 + px +q)^n},$$ on fait apparaître au numérateur la dérivée de $x^2 + px +q$. On obtient $$\frac{ax + b}{(x^2 + px +q)^n} = \frac a2 \frac{2x + p}{(x^2 + px + q)^n} + \Bigl(b - \frac{ap}2\Bigl) \frac 1{(x^2 + px + q)^n}.$$
   1. Le premier terme s'intègre directement : $$\int \frac{2x + p}{(x^2 + px +q)^n} dx = \left\{ \begin{array}{ll} Ln(x^2 + px + q) + c & si\ \mbox{$n = 1$}\\ \\ \displaystyle \frac 1{(1 - n)(x^2 + px + q)^{n - 1}} + c & si \mbox{$n > 1$}\\ \end{array} \right.$$
   2. Le second terme
      1. Si $n = 1$, alors $$x^2 + px +q = \frac{4q - p^2}4 \Bigl[1 + \frac 4{4q - p^2}\Bigl(x + \frac p2\Bigl)^2\Bigl].$$ On effectue le changement de variable $$t = \frac 2{\sqrt{4q - p^2}} \Bigl(x + \frac p2\Bigl).$$ Alors $$\int \frac{dx}{x^2 + px + q} = \frac 2{\sqrt{4q - p^2}} \int \frac{dt}{1 + t^2}.$$
      2. Si $n \geq 2$ et si $$I_n = \int \frac{dt}{(1 + t^2)^n}\,,$$ alors $$I_n = \frac t{2(n - 1)(1 + t^2)^{n - 1}} + \frac{2n - 3}{2n - 2} I_{n - 1}.$$

Primitives de la forme $\int \cos^p(x) \sin^q(x) dx$.

On ne traitera ici que le cas $p$ et $q$ sont des entiers naturels pairs. \vskip 0,3cm A l'aide des expressions $$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$ on linéarise l'expression $\cos^p(x) \sin^q(x)$.

Primitives $\int f\Bigl(\cos(x), \sin(x)\Bigl)dx$, $f$ une fraction rationnelle

1. Si $f\Bigl(\cos(x), \sin(x)\Bigl)dx$ est invariante lorsqu'on change $x$ en $- x$, on pose $t = \cos(x)$.
   Exemple $\displaystyle \int \frac{\sin(x)}{3 - 2\sin^2(x)} dx$.
2. Si $f\Bigl(\cos(x), \sin(x)\Bigl)dx$ est invariante lorsqu'on change $x$ en $\pi - x$, on pose $t = \sin(x)$.
   Exemple $\displaystyle \int\frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} dx$.
3. Si $f\Bigl(\cos(x), \sin(x)\Bigl)dx$ est invariante lorsqu'on change $x$ en $\pi + x$, on pose $t = \tan(x)$.
   Exemple $\displaystyle \int \frac 1{\sin^2(x)} dx$.
4. Si non, on pose $\displaystyle t = \tan(\frac x2)$.
   Exemple $\displaystyle \int \frac {dx}{2 + \cos(x)}$.

Calculs d'intégrales

Définition

Aire

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de l'application $f$ dans un repère orthogonal. Soit $D$ la région du plan délimitée par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.