Définition d'un système linéaire
Définition
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls.
On appelle système d'équations linéaires de $n$ équations à $p$ inconnues $x_1, x_2, \ldots, x_p$ le système
$$
\left\{\begin{array}{cccccccc}
a_{1, 1} x_1\ & + & a_{1, 2} x_2\ & + & \cdots \ & + & a_{1, p} x_p \ & = & b_1 & & (L_1)\\
a_{2, 1} x_1\ & + & a_{2, 2} x_2\ & + & \cdots \ &+ & a_{2, p} x_p\ & = & b_2 & & (L_2)\\
\vdots & & \vdots & & \vdots\ & & \ & &\\
a_{n, 1} x_1\ & + & a_{n, 2} x_2\ & + & \cdots \ &+ & a_{n, p} x_p\ & = & b_n & & (L_n)
\end{array}\right.
$$
où les coefficients $\displaystyle (a_{i, j})_{1\leq i\leq n\atop 1\leq j \leq p}$ et
$\displaystyle (b_i)_{1\leq i \leq n}$ sont des scalaires fixés.
Le $n$-uplet $(b_1, b_2, \cdots, b_n)$ est appelé second membre du système.
On note $L_1, L_2, \ldots, L_n$ les lignes du système.
Remarque
Dans ce cours, nous résoudrons des systèmes ayant au plus 3 équations et 3 inconnues. Dans ce cas, on utilise le plus souvent
les dernières lettres de l'alphabet latin pour nommer les inconnues : x,y,z.
Définition
- On dit qu'un système est homogène ou sans second membre si $b_1 = b_2 = \cdots = b_n = 0$.
-
On appelle système homogène associé à $(S)$,
le système noté $(S_H)$ obtenu en remplaçant le second membre de $(S)$ par un second membre nul.
Vocabulaire
-
Une solution du système $(S)$ est un $p$-uplet $(x_1, x_2, \cdots, x_p)$ vérifiant les $n$ équations du système $(S)$.
Résoudre un système, c'est trouver tous les $p$-uplets solutions.
-
Un système est dit compatible s'il admet au moins une solution.
Sinon, on dit que le système est incompatible. Lorsque la solution est unique, on dit qu'il s'agit d'un système de Cramer.
Vocabulaire
Deux systèmes d'équations linéaires, de même taille, $(S_1)$ et $(S_2)$ sont dits
équivalents lorsqu'ils ont le même ensemble de solutions.
Pour résoudre un système, on passe d'un système à un système équivalent plus simple, en utilisant des opérations
élémentaires sur les lignes du système. L'opération réalisée étant réversible, le nouveau système obtenu est bien équivalent :
les opérations élémentaires ne suppriment ni n'ajoute d'information autre que celle contenue dans le système de départ.
Opérations élémentaires sur les lignes
Définition
On appelle
opération élémentaire sur les lignes l'une des trois opérations suivantes :
- Echange de deux lignes $L_i \leftrightarrow L_j$.
- Multiplication d'une ligne par un réel non nul $\alpha$ : $L_i \leftarrow \alpha L_i$.
- Addition à une ligne d'un multiple d'une autre ligne : $L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j$.
Les autres lignes non concernées doivent être réécrites dans le système sans modifications.
Exemple
Considérons le système suivant :
$$
\left\{
\begin{aligned}
x\ & - & y\ & & \ & = & 0 & & L_1\\
& & y \ & - & z\ & = & 1 & & L_2\\
- x\ & & \ & + & z\ & = & 0 & & L_3\\
\end{aligned}
\right.
$$
Effectuons l'opération élémentaire : $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$, on obtient un nouveau système $(S')$ équivalent.
$$
\left\{
\begin{aligned}
x & & - & & y & & & & & = & 0\\
& & & & y & & - & & z & = & 1\\
& & - & & y & & + & & z & = & 0\\
\end{aligned}
\right.
$$
En observant les deux dernières lignes de ce système, on constate qu'il n'existe pas de
réels $y$ et $z$ qui vérifient les deux conditions $y - z = 1$ et $- y + z = 0$.
Il n'y a donc pas de solution au système $(S')$, ni au système $(S)$. Le système est incompatible.
Remarque
Reprenons le système de l'exemple 2.2 et formons un nouveau système avec les combinaisons simultanées :
$L1 \leftarrow L_1 + L_2 ; \ L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ et $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ :
$$\left\{
\begin{aligned}
x & & & & & & - & & z & = & 1\\
x& & + & & y & & - & & 2z & = & 1\\
& & - & & y & & + & & z & = & 0\\
\end{aligned}
\right.
$$
On remarque que le triplet $(1; 0 ; 0)$ est solution du système $(S")$ mais pas du système $(S)$. Les deux systèmes $(S)$ et $(S")$ ne sont pas équivalents. Le problème ici, provient du fait que l'on effectue trois opérations simultanément sur le système.
Il est donc fondamental de n'effectuer qu'une seule opération élémentaire à la fois !