Complexes

L1 - PC

Mathématiques

Introduction

La naissance des nombres complexes (XVI ème siècle) est intimement liée à la résolution des équations algébriques. Par exemple l'équation \begin{equation} x^2 + 1 = 0 \end{equation} n'a pas de solution réelle. A cette époque la méthode de Cardan permettait de trouver des solutions de certaines équations de degré $3$ en se ramenant à une équation de degré $2$.

Forme algébrique d'un nombre complexe

Définition des nombres complexes

Nous admettons (dans ce cours) l'existence d'un ensemble, appelé l'ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$ et vérifiant les propriétés suivantes :
  1. $\mathbb{C}$ contient $\mathbb{R}$.
  2. Il existe un élément de $\mathbb{C}$, noté $i$, tel que $i^2 = - 1$.
  3. $\mathbb{C}$ est l'ensemble des nombres $z = a + ib$, $a$ et $b$ deux nombres réels avec les deux opérations (une addition et une multiplication) internes suivantes :
    • Pour tout $z = a + ib$ et $z' = a' + i b'$ dans $\mathbb{C}$, $\quad z + z' = (a + a') + i (b + b')$.
    • Pour tout $z = a + ib$ et $z' = a' + i b'$ dans $\mathbb{C}$, $\quad zz' = (aa' - bb') + i (ab' + ba')$.
Un élément de l'ensemble $\mathbb{C}$ est appelé un nombre complexe.
Définition
L'ensemble $\mathbb{C}$ muni de l'addition et de la multiplication définies ci-dessus est appelé le corps des nombres complexes.
Remarque
Il est facile de vérifier que, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, on a $$ z + z' = z' + z \quad \mbox{et}\quad zz' = z'z. $$ On dit que l'addition et la multiplication dans $\mathbb{C}$ sont commutatives.
Définition
L'écriture $z = a + i b$, d'un nombre complexe $z$, est appelée forme algébrique de $z$.

Calcul avec les nombres complexes

Définition
Si $z = a + ib$ est un nombre complexe, on appelle
  • $a$, la partie réelle de $z$ et on note $a = Re(z)$.
  • $b$, la partie imaginaire de $z$ et on note $b = Im(z)$.
  • Le conjugé de $z = a + i b$ est le nombre complexe $a - ib$. On note $\bar{z}$ le conjugué d'un nombre complexe $z$.
  • Le module de $z = a + ib$ le nombre réel positif $\sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}$. On note $\vert z\vert$ le module de $z$.
Un nombre complexe $z = a + ib$ est nul si et seulement si $a = 0 = b$.
Remarque
Pour tout nombre complexe $z$, $\vert Re(z)\vert \leq \vert z\vert$ et $\vert Im(z)\vert \leq \vert z\vert$.
Exercice
  1. Soit $z = i$. Calculer la partie réelle de $z$ ainsi que sa partie imaginaire. Calculer $\bar{z}$, puis le module de $z$.
  2. Même question pour $z = 1 + i$, \ $z = 1 - i$, \ $ z = 3 + 4i$.
  3. Montrer que, pour tous $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}, \quad \overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ et $\overline{zz'} = \bar{z} \bar{z'}$.
  4. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$, $\vert z\vert = \vert \bar{z}\vert$.
  5. Montrer que, pour tous $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}, \quad \vert z z'\vert = \vert z\vert \vert z'\vert$.
  6. Montrer que, pour tous $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}, \quad \vert z + z'\vert \leq \vert z\vert + \vert z'\vert$.
  7. Montrer que, pour tous $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}, \quad \Bigl\vert\vert z\vert - \vert z'\vert\Bigl\vert \leq \vert z + z'\vert$.
Exercice
Montrer que, pour tout nombre complexe non nul , $z$, il existe un nombre complexe $z'$ tel que $zz' = 1$.
Exercice
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : $$ z_1 = 3(2 + i) - i(4 - 5i). \quad z_2 = (2 + 3i)^2. \quad z_3 = \frac{4 + 6i}{1 + i}. \quad z_4 = \frac{3 + 4i}{2 + i}.$$
Définition
On dit que $z = a + ib$ est un nombre réel si $b = 0$. On dit que $z$ est un nombre imaginaire pur si $a = 0$ et $b \not= 0$.

Plan et nombres complexes

Définition
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$. A tout point $M$ du plan de coordonnées $(a, b)$ on associe le nombre complexe $z = a + ib$. On dit que :
  • $z$ est l'affixe du point $M$ et que le point $M$ est l'image du nombre complexe $z$.
  • $z$ est l'affixe du vecteur $\vec{OM}$ et que le vecteur $\vec{OM}$ est l'image du nombre complexe $z$.
Exercice
Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe de cordonnées respectives $(x_A, y_A)$ et $(x_B, y_B)$.
  1. Déterminer l'affixe du point $A$ ainsi que l'affixe du point $B$.
  2. Déterminer l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ et vérifier que $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$.
  3. Déterminer l'affixe du milieu du segment $[AB]$.

Forme exponentielle d'un nombre complexe

Le cercle trigonométrique

Argument d'un nombre complexe

Si $z = a + ib$ est un nombre complexe non nul, alors il peut s'écrire $$ z = \vert z\vert \Bigl(\frac a{\vert z\vert} + i \frac b{\vert z\vert}\Bigl). $$ Comme $ \frac{a^2}{\vert z\vert^2} + \frac{b^2}{\vert z\vert^2} = 1$, alors il existe un nombre réel $\theta \in [0, 2\pi[$ tel que $$ \frac a{\vert z\vert} = \cos(\theta) \quad \mbox{et} \quad \frac b{\vert z\vert} = \sin(\theta). $$ Ainsi on peut écrire tout nombre complexe \underline{\sl non nul} sous la forme $$ z = \vert z\vert \Bigl(\cos(\theta) + i \sin(\theta)\Bigl), \quad \theta \in [0, 2\pi[. $$

Définition
L'écriture de $z$ sous la forme $z=|z|(\cos \theta+i\sin \theta)$ est appelé forme trigonométrique de $z$. Cette écriture est unique. L'angle $\theta$ est appelé l'argument de $z$.
Attention, cette notation est parfois trompeuse. Par exemple $-2(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))$ n'est pas la forme trigonométrique de $z=-{\sqrt{2}}(1+i)$, dont la forme trigonométrique est $2(cos(-3\pi/4)+i\sin(-3\pi/4))$.
Notation
Pour tout nombre réel $x$, on pose $$ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). $$ Ainsi tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit $$ z = \vert z\vert e^{i\theta}, \ \theta \in \mathbb{R}. $$
Vocaulaire
On note par $arg(z)$ un argument de $z$. L'écriture $ z = \vert z\vert e^{i\theta}$ est appelée forme exponentielle de $z$.
Remarque
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. $z = z'$ si et seulement si $$ \vert z\vert = \vert z'\vert \quad \mbox{et} \quad arg(z) = arg(z') + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}. $$
Exercice
Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $$ z_1 = 1 + i. \quad z_2 = 2 - 2\sqrt{3} i. \quad z_3 = - \frac 14 + i \frac{\sqrt 3}4. $$
Exercice
Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $\displaystyle z = \frac{z_3}{z_1}$ puis $\displaystyle \frac{z_3}{z_2}$ où $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sont définis dans l'exercice précédent.

Equation du second degré

Racine carrée d'un nombre complexe

Soit $z = a + ib$ un nombre complexe. On cherche les nombres complexes $w = x + i y$ tes que $w^2 = z$.
  1. On écrit le nombre complexe $w^2$ sous forme algébrique : $w^2 = (x^2 - y^2) + 2ixy$
  2. On écrit le module du nombre complexe $w^2$ en fonction du module de $z$ : $\vert w^2\vert = \vert z\vert$
L'équation $w^2 = z$ est alors équivalente à : $$ \left\{ \begin{array}{ll} x^2 - y^2 & = a,\\ x^2 + y^2 & = \sqrt{a^2 + b^2},\\ 2xy & = b.\\ \end{array} \right. $$ Ce qui donne $x$ et $y$ sont tels que $$ \left\{ \begin{array}{ll} x^2 & = \displaystyle \frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}2,\\ \\ y^2 & = \displaystyle \frac{- a + \sqrt{a^2 + b^2}}2,\\ \\ 2xy & = b.\\ \end{array} \right. $$ La troisième équation détermine les signes de $x$ et de $y$. Les solutions de ce système d'équations sont appelées les racines carrées du nombre complexe $z$.
Exercice
Trouver les racines carrées des nombres complexes suivants : $$(1) z = - 1. \quad (2) z = 2i. \quad (3) z = 3 - 4i. \quad (4)\displaystyle z = \frac 12 - i \frac{\sqrt 3}2.$$

Cas général

On considère l'équation, d'inconnue $z$, $$ a z^2 + b z + c = 0 $$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres complexes. On suppose que $a$ est non nul. Alors $$ \begin{array}{cc} a z^2 + b z + c & = a \Bigl[z^2 + \frac ba z\Bigl] + c\\ & = a\Bigl(z + \frac b{2a}\Bigl)^2 - \frac{b^2}{4a} + c\\ & = a \Bigl[\Bigl(z + \frac b{2a}\Bigl)^2 - \frac{b^2- 4ac}{4a^2} \Bigl]. \end{array} $$ On pose $\Delta = b^2 - 4ac$. Soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ : $\delta^2 = \Delta$. Alors $$ a z^2 + b z + c = a \Bigl[\Bigl(z + \frac b{2a}\Bigl)^2 - \frac{\delta^2}{4a^2} \Bigl] = a \Bigl(z - \frac{- b - \delta}{2a}\Bigl)\Bigl(z - \frac{- b + \delta}{2a}\Bigl). $$ Ainsi $$ a z^2 + b z +c = 0 \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} z & = \displaystyle \frac {- b - \delta}{2a},\\ \mbox{ou}\\ z & = \displaystyle \frac {- b + \delta}{2a}.\\ \end{array} \right. $$
Exercice
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes d'inconnue $z$ :
  1. $z^2 - 2z + 10 = 0.$
  2. $ 5z^2 - 4z + 1= 0.$
  3. $(1 + i) z^2 - 3 z + 2 - i = 0.$

Racines n-ièmes d'un nombre complexe

Soient $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $z = r e^{i\alpha}$ un nombre complexe non nul. On cherche les nombres complexes $w = \rho e^{i\theta}$ tels que $w^n = z$. L'équation $w^n = z$ est équivalente à : $$ \rho^ne^{in\theta} = r e^{i\alpha} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \rho^n & = r,\\ n\theta & = \alpha + 2m\pi, \ m \in \mathbb{Z}\\ \end{array} \right. $$ En effectuant la division euclidienne de l'entier $m$ par $n$, il vient $$ m = qn + k, \ \mbox{avec} \ q \in \mathbb{Z} \ \mbox{et} \ k \ \mbox{est un entier naturel tel que} \ 0 \leq k \leq n - 1. $$ On en dénduit alors que $$ \rho^ne^{in\theta} = r e^{i\alpha} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} \rho & = \displaystyle r^{\frac 1n},\\ \theta & = \displaystyle \frac{\alpha}n + \frac{2k\pi}n, \ 0 \leq k \leq n - 1 \equiv [2\pi].\\ \end{array} \right. $$
Exercice
  1. Trouver, par cette méthode, les racines carrées des nombres complexes
    1. $z = - 1$
    2. $z = 2i$
    3. $z = \frac 12 + i \frac{\sqrt 3}2$
  2. Calculer les racines cubiques du nombre complexe $z = 1$.
  3. Calculer les racines cubiques du nombre complexe $z = - 1$.
  4. Calculer les racines quatrièmes du nombre complexe $z = 1$.