Polynômes

L1

Calculs et mathématiques

L'anneau des polynômes

Dans ce qui suit $\mathbb{K}$ désigne l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ ou l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$. Dans ce chapitre on ne donnera pas une définition mathématique correcte d'un polynôme. On s'appuie simplement sur ce que vous avez vu dans le secondaire.

Définitions
On appelle monôme à une indéterminée $X$ et à coefficient dans $\mathbb{K}$ un terme de la forme $a_k X^k, \ a_k \in \mathbb{K}$. On appelle polynôme à une indéterminée $X$ et à coefficients dans $\mathbb{K}$ une somme de monômes $$ P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n, $$ où les $a_k$ sont dans $\mathbb{K}$ et $n$ est un entier naturel. On notera indifféremment $P$ ou $P(X)$.
Définitions
  1. S'il existe au moins un coefficient $a_k$ non nul, on appellera degré de $P$ et on notera $deg (P)$, le plus grand entier naturel $k$ tel que $a_k$ soit non nul.
  2. Si tous les coefficients du polynôme sont nuls, le polynôme est le polynôme nul, on dira par convention que son degré est égal à $- \infty$.
  3. On appelle valuation d'un polynôme $P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$, le plus petit entier naturel $k$ tel que $a_k$ soit non nul.
Remarque
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même puissance sont égaux.
Exercice
Quel est le degré et la valuation du polynôme $P = - X^2 + 1$ ?
Notations
  1. L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ sera noté $\mathbb{K}[X]$.
  2. L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal $n$, à coefficients dans $\mathbb{K}$, sera noté $\mathbb{K}_n[X]$.

Opérations sur les polynômes

Somme de deux polynômes

Soient deux polynômes $P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$ et $Q = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots + b_m X^m$ avec $deg (P) = n$ et $deg (Q) = m$. La somme de ces deux polynômes est obtenu de manière classique en additionnant terme à terme les coefficients des monômes de même degré. Si $n \leq m$, par exemple, alors $$ \begin{array}{rcl} P + Q &= (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) X + (a_2 + b_2) X^2 + \cdots &+ (a_n + b_n) X^n \\ & & \quad + b_{n + 1} X^{n + 1} + \cdots + b_m X^m. \end{array} $$

Remarque
Si $n \not = m$, alors $deg(P + Q)$ est le plus grand des deux entiers naturels $n$ et $m$. Par contre si $n = m$, le degré de $P + Q$ est au plus égal à $n$ (il peut être inférieur si $a_n + b_n = 0$). Donc $$ deg (P + Q) \leq max\Bigl(deg (P), deg(Q)\Bigl). $$

Multiplication d'un polynôme par un nombre

Soient $\lambda$ un scalaire et $P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$ un polynôme. On définit le polynôme $\lambda P$ par $$ \lambda P = \lambda a_0 + \lambda a_1 X + \lambda a_2 X^2 + \cdots + \lambda a_n X^n. $$ Si $\lambda = 0$, le polynôme $\lambda P$ est le polynôme nul : $\lambda P = 0$. Si $\lambda$ est non nul, alors $\lambda P$ est non nul et $deg (\lambda P) = deg (P)$.

Produit de deux polynômes

Si $P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$ et $Q = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots + b_m X^m$, on définit le produit $PQ$ des deux polynômes en développant le produit $$ (a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n)(b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots + b_m X^m). $$ On obtient un polynôme de la forme $$ PQ = c_0 + c_1 X + c_2 X^2 + \cdots + c_{n + m} X^{n + m}, $$ où pour $ \ 0 \leq k \leq n + m)$, on a $$ c_k = a_0b_k + a_1b_{k - 1} + a _2 b_{k - 2} + \cdots + a_k b_0 = \sum_{j = 0}^k a_j b_{k - j} = \sum_{j = 0}^k a_{k - j} b_j. $$

Remarque
Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls, le coefficient de $X^{n + m}$ est le produit $a_nb_m$ et il est non nul. Il en résulte que \begin{equation*} \fbox{ deg(PQ) = deg (P) + deg (Q).} \end{equation*} On en déduit que $PQ$ est le ploynôme nul si et seulement si $P$ est nul ou $Q$ est nul.

Composition de deux polynômes

Si $P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$ et $Q(X) = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots + b_m X^m$, (avec $deg (P) = n$ et $deg (Q) = m$), la composée $P \circ Q$, ou encore $P(Q)$, de $P$ et $Q$ dans cet ordre est le polynôme obtenu en rempl\c cant dans $P(X)$ la lettre $X$ par $Q(X)$. Donc $$ P\circ Q(X) = a_0 + a_1 Q(X) + a_2 \bigl(Q(X)\bigl)^2 + \cdots + a_n\bigl(Q(X)\bigl)^n. $$
Exemple
Si $P(X) = X^3 - X + 1$ et $Q(X) = X^2$, on a $P(Q)(X) = X^6 - X^2 + 1$.

Dérivation d'un polynôme

Définition
Si $P(x) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$, avec $\mathrm{deg} P = n$, on appelle polynôme dérivé de $P$ et on note $P'$ le polynôme $$ P'(X) = \left\{ \begin{array}{ll} a_1 + 2a_2 X + \cdots + na_n X^{n - 1} & si\ \mbox{$n \geq 1$}\\ 0 & \mbox{$n = 0$}\\ \end{array} \right. $$ On constate donc que $\mathrm{deg}(A') = \mathrm{deg} (A) - 1$ si $deg (A) \geq 1$ et $ deg(A') = - \infty$ si $deg (A) \leq 0$.

Conjugué d'un polynôme

Si $A(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$, avec $deg (A) = n$ est un polynôme à coefficients complexes, on note $\overline{A} (X)$ le polynôme conjugué obtenu en prenant le conjugué de tous les coefficients de $A$. Soit $$ \overline{A} (X) = \overline{a_0} + \overline{a_1}X + \overline{a_2} X^2 + \cdots \overline{a_n} X^n. $$
Théorème
Si $A$ est un polynôme, $A(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$, on peut lui associer une fonction de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$, notée $\tilde{A}$, dite fonction polynomiale, en posant $$ (\forall x \in \mathbb{K}), \quad \tilde{A}(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n. $$
Attention
Le polynôme $A$ et la fonction polynomiale $\tilde{A}$ sont deux objets différents. En effet
  1. dire que le polynôme $A = 0$ signifie que tous les coefficients du polynôme $A$ sont nuls.
  2. dire que la fonction polynomiale $\tilde{A} = 0$ signifie que, pour tout $x$ dans $\mathbb{K}$, on a $\tilde{A}(x) = 0$.
Si $\alpha$ est dans $\mathbb{K}$, par abus de notation, on note $A(\alpha)$ au lieu de $\tilde{A}(\alpha)$.
Définition
On dit que $\alpha$ dans $\mathbb{K}$ est une racine ou un zéro d'un polynôme $A$ si $A(\alpha) = 0$.

La division euclidienne des polynômes

Théorème
Soient $A$ et $B$ deux polynômes tels $B \not = 0$. Il existe un couple unique de polynômes $(Q, R)$ tel que $$ A = BQ + R \quad \mbox{avec} \quad deg R < \mathrm{deg} B. $$ On appelle $Q$ lequotient et $R$ le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B$.

Lorsque l'on écrit $A = BQ + R$ avec les notations du théorème précédent, on dit que l'on a effectué la division euclidienne de $A$ par $B$. On appelle aussi cette division "division suivant les puissances décroissantes" car dans cette division on écrit les polynômes $A$ et $B$ suivant les puissances décroissantes. Lorsque le reste $R$ est le polynôme nul, on dit que $B$ divise $A$. En particulier si $B = X - \alpha$, $\alpha$ dans $\mathbb{K}$, le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ est alors un polynôme constant $R$. On a $$ A(X) = (X - \alpha) Q(X) + R. $$ Mais alors $$ A(\alpha) = R, $$ et donc $$ \fbox{$A(X) = (X - \alpha) Q(X) + A(\alpha).$} $$ On en déduit que

  1. un nombre $\alpha$ est racine d'un polynôme $A$ si et seulement si $X - \alpha$ divise $A$.
  2. le nombre de racines d'un polynôme non nul de degré $n$ est au plus $n$.
  3. \item un polynôme $A$ tel que $deg (A) \leq n$ et dont le nombre de racines est supérieur ou égal à $n + 1$ est le polynôme nul.
$$ A(X) = (X - \alpha_1) (X - \alpha_2) \cdots (X - \alpha_k) B(X), $$ donc $$ deg(A) = k + deg(B). $$ Il en résulte que $k \leq deg (A)$.

Exemple
Effectuer la division euclidienne du polynôme $A$ par le polynôme $B$.
  1. $A = X^3 + 3X^2 + 2X + 1$ et $B = X^2 + 1$.
  2. $A = 2X^3 - X^2 + 4$ et $B = X^2 + 2X + 2$.

Racines multiples

Définition
Soit $k$ un entier naturel non nul. Soit $A$ un polynôme non nul. On dit qu'un $a$ dans $\mathbb{K}$ est une racine d'ordre $k$ ou de multiplicité $k$, de $A$, si et seulement si $(X - a)^k$ divise $A$ et $(X - a)^{k+1}$ ne divise pas $A$.
Théorème
Soit $A$ un polynôme. Les nombres $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots, \alpha_k$ sont racines distinctes de $A$ de multiplicité respectives $p_1$, $\cdots, p_k$, s'il existe un polynôme $B$ tel que $$ A(X) = (X - \alpha_1)^{p_1} \cdots (X - \alpha_k)^{p_k} B(X) $$ avec $\alpha_1, \cdots, \alpha_k$ ne sont pas racines de $B$.

Factorisation d'un polynôme

Factoristation d'un polynôme dans $\mathbb{C}[X]$

Théorème
Tout polynôme $A$ de $\mathbb{C}[X]$ de degré plus grand ou égal à $1$ se décompose, de manière unique, $$ A(X) = \lambda (X - \alpha_1)^{p_1} (X - \alpha_2)^{p_2} \cdots (X - \alpha_k)^{p_k}, $$ où $\lambda$ est un nombre complexe non nul, $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ sont des nombres complexes distincts et $p_1, p_2, \cdots, p_k$ sont des entiers naturels non nuls.

Factoristation d'un polynôme dans $\mathbb{R}[X]$

Théorème
Tout polynôme $A$ de $\mathbb{R}[X]$ de degré plus grand ou égal à $1$ se décompose, de manière unique, $$ A(X) = \lambda {A_1}^{p_1} {A_2}^{p_2} \cdots {A_r}^{p_r}, $$ où $\lambda$ est un nombre réel non nul, $p_1, p_2, \cdots, p_r$ sont des entiers naturels non nuls et pour tout indice $k$, le polynôme $A_k$ est soit un polynôme de la forme $X - \alpha$, avec $\alpha$ un nombre réel, soit un polynôme de la forme $X^2 + s X + p$ avec $s^2 - 4p< 0$.

Fractions rationnelles

Le cours se résume à une définition et à un théorème ! Par contre les exercices demandent un peu d'entraînement pour savoir comment opérer. Les différentes techniques seront traitées ici en exercice.
Les fractions rationnelles sont les objets mathématiques qui satisfont aux règles suivantes :
  1. Une fraction rationnelle sur $\mathbb{K}$ est déterminée par la donnée d'un couple $(P,Q)$ de deux polynômes de $\mathbb{K}[X]$, où $Q\neq0$.
  2. On écrit les couples sous forme de fraction : $\frac{P}{Q}$. Deux couples $\frac{P}{Q}$ et $\frac{P'}{Q'}$ sont dits égaux lorsque $PQ'-P'Q=0$.
  3. Une fraction rationnelle $\frac{P}{Q}$ est dite irréductible lorsque lorsque $P$ et $Q$ n'ont pas de diviseur commmun de degré $>0$. Toute fraction rationnelle est égale à une fraction irréductible (et une seule à un scalaire multiplicatif près).

Les fractions rationnelles peuvent être ajoutées, multipliées et divisées, suivant les règles de calcul habituelles : associativité, distributivité, commutativité, interdiction de la division par $0$, etc.

Théorème
Soit $\frac{P}{Q}$ une fraction irréductible. Soit $E$ le quotient de $P$ par $Q$ dans la division euclidienne. Soit $$ Q=A_1^{\alpha_1}\times\cdots\times A_k^{\alpha_k} $$ la décomposition de $Q$ en facteurs irréductibles. Alors il existe une famille et une seule de polynômes $(A_{ij})_{\begin{subarray}{l}i=1,\ldots,k \\ j=1,\ldots,\alpha_i\end{subarray}}$ telle que :
  • on ait l'égalité de fractions rationnelles suivante : $$ \frac{P}{Q}=E+\sum_{\begin{subarray}{c}i=1,\ldots,k \\ j=1,\ldots,\alpha_i\end{subarray}} \frac{A_{ij}}{A_i^j}\,, $$
  • le degré de $A_{ij}$ est strictement inférieur au degré de $A_i$.
Cette décomposition s'appelle la décomposition en éléments simples de $\frac{P}{Q}$.
Exemple
Décomposons en éléments simples $\frac{X+2}{X^2-1}$. On trouve : $$\frac{X+2}{X^2-1}=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X+1}\,.$$ On réduit au même dénominateur et on obtient par identification $a$ et $b$ : $$\frac{X+2}{X^2-1}=\frac{\frac{3}{2}}{X-1}+\frac{\frac{-1}{2}}{X+1}\,.$$