Equations différentielles linéaires du premier ordre
Définition
On appelle équation différentielle linéraire du premier ordre (ou encore d'ordre un), toute équation du type
$$
(E) \quad a(x) y' + b(x) y + c(x) = 0
$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des applications définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Résoudre l'équation $(E)$ sur $I$, c'est déterminer toutes les fonctions dérivables $f$ sur $I$ telles que
$$
(\forall x \in I) \quad a(x) f'(x)+ b(x) f(x) + c(x) = 0.
$$
Nous nous intéressons à la résolution des équations de la forme
$$
y' + a(x) y = b(x).
$$
Solution générale de l'équation sans second membre
Nous cherchons les solutions générales de l'équation $$ y' + a(x) y = 0. $$ Théorème
Les solutions générales de l'équation sans second membre
$$
(E_0) : \quad y' + a(x) y = 0
$$
sont de la forme
$$
y = K e^{- A(x)},
$$
où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$ et $K$ est une constante réelle.
Démonstration.Soit $y$ une fonction dérivable sur $I$. On pose $u(x) = ye^{A(x)}$. Comme $e^{A(x)}$ est différrent de $0$, pour tout $x$ dans $I$, alors $$ y(x) = u(x) e^{- A(x)}. $$ $y$ est solution de l'équation $(E_0)$ si et seulement si $$ u'(x) e^{-A(x)} = 0 $$ si et seulement si $u$ est une fonction constante sur $I$.
Exemple
$$
y' + 2y = 0.
$$
Les solutions de cette équation sur $\mathbb{R}$ sont de la forme
$$
y(x) = K e^{-2x}; \quad K \in \mathbb{R}.
$$
Remarque
Une solution $f$ de l'équation
$$
(E_0) : \quad y' + a(x) y = 0
$$
est soit $f(x) = 0$ pour tout $x$ dans $I$ soit $f(x) \not = 0$, pour tout $x$ dans $I$.
Solution de l'équation complète
Théorème
Soient $a$ et $b$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$.
Soient $A$ une primitive de $a$ sur $I$ et $B$ une primitive de $be^A$ sur $I$.
Alors les solutions de l'équation différentielle
$$
y' + a(x) y = b(x)
$$
sont de la forme
$$
y(x) = \Bigl(B(x) + K\Bigl)e^{-A(x)}
$$
où $K$ est une constante réelle.
Exemple
Avec la méthode de variation de la constante.
$$
(E) \quad y' + 2y = x^2.
$$
Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
Définition
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, toute équation du type
$$
(E) \quad a y" + b y' + c y = f(x)
$$
où $a, b$ et $c$ sont des constantes réelles, avec $a$ non nul, et $f$ est une application définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ deux fois dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation.
Théorème
Si $S$ est l'ensemble des solutions de l'équation sans second membre
$$
a y" + b y' = c y = 0
$$
et si $y_1$ est une solution particulière de l'équation complète,
alors $y$ est une solution de l'équation complète si et seulement si $ y = y_1 + z$ où $z \in S$.
En d'autres termes : La solution générale de l'équation complète est
la somme de la solution générale de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de l'équation complète.
L'équation sans second membre
On cherche une solution de la forme $y = e^{rx}$, où $r$ est une constante. L'équation sans second membre s'écrit alors $$ e^{rx}(ar^2 + b r + c) = 0. $$ Le polynôme $P(r) = a r^2 + b r + c$ s'appelle- $b^2 - 4ac > 0$
. Le polynôme caractéristique a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. Alors $y_1 = e^{r_1x}$ et $y_2 = e^{r_2x}$ sont solutions de l'équation sans second membre. On admet que la solution générale de l'équation sans second membre sur $\mathbb{R}$ est $$ y = c_1 e^{r_1x} + c_2 e^{r_2x}, $$ où $c_1$ et $c_2$ sont deux constantes réelles. - $b^2 - 4ac < 0$.
Le polynôme caractéristique a deux racines complexes conjuguées distinctes $\lambda = \alpha + i \beta$ et $\overline{\lambda}$. Alors les fonctions $x \mapsto e^{\lambda x}$ et $x \mapsto e^{\overline{\lambda} x}$ sont des solutions complexes de l'équation sans second membre. Nous sommes intéressés par les solutions réelles. La partie réelle $y_1 = e^{\alpha x} \cos(\beta x)$ et la partie imaginaire $y_2 = e^{\alpha x} \sin(\beta x)$ sont des solutions réelles de l'équation. La solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation sans second membre est $$ y = e^{\alpha x} \Bigl(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)\Bigl), $$ où $c_1$ et $c_2$ sont des constantes réelles. - $b^2 - 4ac = 0$.
Le polynôme caractéristique a une racine réelle double $s$. Alors $y_1 = e^{s x}$ est solution de l'équation. Une autre solution de l'équation sans second membre est $y_2 = xe^{s x}$. (Vérifier !) On admet que la solution générale sur $\mathbb{R}$ de l'équation sans second membre est $$ y = e^{sx}(c_1 + c_2 x), $$ où $c_1$ et $c_2$ sont deux constantes réelles.
Théorème
La solution générale de l'équation sans second membre $a y" + b y' + c y = 0$,
où $a, b$ et $c$ sont des constantes réelles et $a$ non nul est
où $A$ et $B$ sont des constantes réelles.
| de la forme | si l'équation $a x^2 + b x + c = 0$ a |
| $\displaystyle y(x) = A e^{r_1x} + Be^{r_2x}$ | 2 racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ |
| $\displaystyle y(x) = (Ax + B) e^{sx}$ | une racine réelle double $s$ |
| $\displaystyle y(x) = e^{\alpha x}\Bigl(A\cos(\beta x) + B \sin(\beta x)\Bigl)$ | 2 racines conjuguées $\lambda = \alpha + i \beta$ et $\overline{\lambda}$ |
Exemples
- $ y" - 3y' + 2 y = 0$.
- $y" + 2y' + y = 0$.
- $y" + 2y' + 2y = 0$.