Fonctions

L1

Calculs et mathématiques

Dérivées

Définitions

Définition
Une fonction est dite dérivable en un point $a$ de son domaine de définition si le rapport $$ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$ admet une limite réelle lorsque $x$ tend vers $a$, $x$ différrent de $a$. On note cette limite par $f'(a)$ et on dit que $f'(a)$ est la dérivée de $f$ au point $a$.
Exemple
  1. La fonction $f : x \mapsto x$ est dérivable en tout point $a$ de $\mathbb{R}$ et sa dérivée en ce point est égale à $1$.
  2. La fonction $f : x \mapsto x^2$ est dérivable en tout point $a$ de $\mathbb{R}$ et sa dérivée en ce point est égale à $2a$.
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur une partie $I$ de $\mathbb{R}$. Si $f$ est dérivable en tout point de $I$, on définit une fonction sur $I$ en associant à tout $x$ de $I$ la dérivée de $f$ en $x$. Cette fonction est dite la fonction dérivée de $f$ et est notée $f'$.

Opérations sur les dérivées

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en un point $a$, alors $f + g$, $fg$ sont dérivables en $a$ et $$ (f + g)'(a) = f'(a) + g'(a) \quad \mbox{et}\quad (fg)'(a) = f'(a) g(a) + f(a) g'(a). $$

Soit $f$ et $g$ une fonction dérivable en un point $a$. Si $f'(a)$ est non nul, alors la fonction $\displaystyle \frac 1f$ est dérivable en $a$ et $$ (\frac 1f)'(a) = - \frac{f'(a)}{(f(a))^2}. $$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en un point $a$. Si la fonction $f\circ g$ est définie au point $a$, alors $f\circ g$ est dérivables en $a$ et $$ (f\circ g)'(a) = g'(a) f'(g(a)). $$

Exemple
  1. $f : x \mapsto x^3$
  2. $f : x \mapsto 2x^4 - 5x^3 + 2x - 1$
  3. $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 1}{3x - 2}$.

Fonction logarithme népérien

Pour tout entier $n$ différent de $- 1$, la fonction $\displaystyle x \mapsto \frac 1{n + 1} x^{n + 1}$ est dérivable et sa dérivée est la fonction $x \mapsto x^n$. Reste le cas $n = - 1$.

On appelle fonction logarithme népérien, et on note $Ln$, la fonction définie sur $]0, + \infty[$, dérivable sur $]0, + \infty[$ et telle que $$ (\forall x \in ]0, + \infty[), \quad Ln'(x) = \frac 1x \quad \mbox{et}\quad Ln(1) = 0. $$

Propriétés
  1. La fonction $Ln$ est strictement croissante sur $]0, + \infty[$.
  2. Pour tous $x, y$ dans $]0, + \infty[$, $$ Ln(xy) = Ln(x) + Ln(y). $$ Démonstration

    Soit $y$ fixé dans $]0, + \infty[$. Soit $h$ la fonction définie sur $]0, + \infty[$ par : $$ (\forall x \in ]0, + \infty[), \quad h(x) = Ln(xy). $$ Alors $h$ est dérivable sur $]0, + \infty[$ comme la composée de deux fonctions dérivables sur $]0, + \infty[$ et $$ (\forall x \in ]0, + \infty[), \quad h'(x) = \frac 1x. $$ $h$ est $Ln$ ont la même dérivée sur $]0, + \infty[$, donc diffèrrent d'une constante. $$ (\forall x \in ]0, + \infty[), \quad h(x) = Ln(x) + c, \ c \in \mathbb{R}. $$

  3. Pour tout $x \in ]0, + \infty[$, $$ Ln(\frac 1x) = - Ln(x). $$
  4. On montre par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x > 0$, $$ Ln(x^n) = n Ln(x). $$
  5. Pour tout entier $n$ et pour tout réel $x > 0$, $$ Ln(x^n) = n Ln(x). $$
  6. Pour tout rationnel $r$ et pour tout réel $x > 0$, $$ Ln(x^r) = r Ln(x). $$
  7. On généralise le résultat précédent à $\mathbb{R}$. $$ (\forall \alpha \in \mathbb{R})(\forall x \in ]0, + \infty[), \quad Ln(x^\alpha) = \alpha Ln(x).$$
  8. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} Ln(x) = + \infty$.
  9. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0\atop x > 0} Ln(x) = - \infty$.
  10. Pour tout $x$ dans $]0, + \infty[$, $$ Ln(x) \leq x- 1. $$
  11. $$ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{Ln(x)}x = 0.$$

Fonction exponentielle

Définition
On appelle fonction exponentielle, et on note $exp$, la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. C'est donc une fonction définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs dans $]0, + \infty[$ et telle que $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad Ln(exp(x)) = x; \quad (\forall x \in ]0, + \infty[), \quad exp(Ln(x)) = x. $$
On note aussi $exp(x)$ par $e^x$.
Propriétés
  1. $exp(0) = 1$.
  2. $\displaystyle exp(-x) = \frac 1{exp(x)}$.
    Démonstration.
    $\displaystyle Ln\Bigl(\frac 1{exp(x)}\Bigl) = - Ln(exp(x)) = - x = Ln(exp(-x))$.
  3. Pour tout réel $\alpha$ et tout réel $x$, $$ \Bigl(exp(x)\Bigl)^\alpha = exp(\alpha x). $$
  4. La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad exp'(x) = exp(x). $$ Démonstration.
    De la relation $Ln(exp(x)) = x$, on déduit par la formule de dérivation d'une fonction composée, $$ exp'(x) Ln'(exp(x)) = 1 = exp'(x) \times \frac 1{exp(x)}. $$ Ce qui donne le résultat.
  5. La fonction $exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, (sa dérivée exp est strictement positive sur $\mathbb{R}$).
  6. Pour tous $x, y$ dans $\mathbb{R}$, $$ exp(x + y) = exp(x) exp(y). $$ Démonstration.
    Soient $x$ et $y$ dans $\mathbb{R}$. Soient $a = exp(x)$ et $b = exp(y)$. Alors $$ Ln(ab) = Ln(a) + Ln(b) = x + y. $$ D'où le résultat en appliquant la fonction exponentielle.
  7. Pour tout réel $x$, $$ 1 + x \leq exp(x).$$ Démonstration.
    On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = exp(x) - x - 1$.
  8. $\displaystyle \lim_{x\rightarrow + \infty} exp(x) = + \infty$ et $\displaystyle \lim_{x\rightarrow - \infty} exp(x) = 0$ .

Fonction puissance

Exposant entier
Soit $a$ un nombre réel non nul. Si $n$ est un entier naturel non nul, alors $$ a^n = a \cdots a \ \mbox{(n tremes)}, \ a^{-n} = \frac 1{a^n}. $$ De plus, on pose $a^0 = 1$. Cette définition implique la règle suivante $$ (\forall n, m \in \mathbb{Z}), \quad a^{n + m} = a^n a^m. $$ Cas général
Définition
Pour tout réel fixé $a > 0$, on pose $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad a^x = exp(x Ln(a)). $$
Propriétés
  1. $a^0 = 1$.
  2. Si $x = n$ un entier naturel non nul, on retrouve la définition de l'exposant entier.
  3. Pour tous $x, y$ dans $\mathbb{R}$, $$ a^{x + y} = a^x a^y. $$
  4. Pour tous $x, y$ dans $\mathbb{R}$, $$ (a^x)^y = a^{xy}. $$
  5. Si $a > 1$, alors $\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty} a^x = + \infty$.
  6. Si $a < 1$, alors $\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty} a^x = 0$.
Exercice
  1. Montrer que, pour tous $\alpha > 0$ et $\beta > 0$, $$ \lim_{x \rightarrow + \infty} \Bigl(Ln(x)\Bigl)^\beta x^{- \alpha} = 0. $$
  2. Montrer que, pour tous $\alpha > 0$ et $\beta > 0$, $$ \lim_{x \rightarrow + \infty} \Bigl(Ln(x)\Bigl)^\beta exp(-\alpha x) = 0. $$
  3. Montrer que, pour tout réel $\alpha$ et et tout $\beta > 0$, $$ \lim_{x \rightarrow + \infty} x^{\alpha} exp(-\beta x) = 0. $$

Fonctions circulaires

  1. La fonction sinus est une fonction définie sur $\mathbb{R}$, $2\pi$-périodique, impaire et à valeurs dans l'intervalle $[- 1, 1]$. On la note $\sin$.
  2. La fonction cosinus est une fonction définie sur $\mathbb{R}$, $2 \pi$-périodique, paire et à valeurs dans l'intervalle $[- 1, 1]$. On la note $\cos$. Avec les formules trigonométriques suivantes $$ \begin{array}{l} \sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x) \sin(y) \quad \mbox{et} \\ \cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y). \end{array} $$ La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad \sin'(x) = \cos(x) = \sin(x + \frac\pi2), $$ qui se généralise aux dérivées d'ordre $n\in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle \sin^{(n)}(x) = \sin(x + n \frac\pi2)$. La fonction sinus est donc strictement croissante sur l'intervalle $\displaystyle [0, \frac\pi2]$ et comme elle est impaire, alors elle est strictement croissante sur $\displaystyle [- \frac\pi2, \frac\pi2]$. La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad \cos'(x) = - \sin(x) = \cos(x + \frac\pi2), $$ qui se généralise aux dérivées d'ordre $n\in \mathbb{N}^*$ : $\displaystyle \cos^{(n)}(x) = \cos(x + n \frac\pi2)$. La fonction cosinus est donc strictement décroissante sur l'intervalle $[0, \pi]$.
  3. La fonction tangente, on note $\tan$, est définie sur $\displaystyle \mathbb{R}\backslash\{\frac\pi 2 + k\pi; \ k \in \mathbb{Z}\}$ par $$ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}. $$ C'est une fonction $\pi$-périodique, impaire, dérivable sur son ensemble de définition et $$ \tan'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac 1{\cos^2(x)}. $$ C'est une fonction strictement croissante sur tout intervalle de la forme $]-\frac\pi 2 + k\pi, \frac \pi 2 + k\pi[, \ k \in \mathbb{Z}$.

Fonctions hyperboliques

Définitions
Pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$, on définit les fonctions suivantes : $$ x \mapsto \frac{e^x + e^{-x}}2, \quad x \mapsto \frac{e^x - e^{-x}}2, \quad x \mapsto \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}. $$ Ces fonctions s'appellent respectivement cosinus hyperbolique ($ch$), sinus hyperbolique ($sh$) et tangente hyperbolique ($th$). $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad ch(x) = \frac{e^x + e^{-x}}2; \quad sh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}2; \quad th(x) = \frac{sh(x)}{ch(x)}. $$
Propriétés
  1. La fonction $ch$ est paire, dérivable sur $\mathbb{R}$, $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad ch'(x) = sh(x). $$
  2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} ch(x) = + \infty$.
  3. La fonction $sh$ est impaire, dérivable sur $\mathbb{R}$, $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad sh'(x) = ch(x). $$
  4. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} sh(x) = + \infty$.
  5. Pour tout réel $x$, $$ ch(x) - sh(x) = e^{-x}. $$
  6. Pour tout réel $x$, $$ ch^2(x) - sh^2(x) = 1. $$
  7. La fonction $th$ est impaire, dérivable sur $\mathbb{R}$, $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad th'(x) = 1 - th^2(x) = \frac 1{ch^2(x)}. $$
  8. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} th(x) = 1$.