Vocabulaire

L1

Calculs et mathématiques

Inégalités dans $\mathbb{R}$. Règles de calculs

Additions

Pour tous réels $x,y$ et $a$, on a $$ x\leq y \Leftrightarrow x+a \leq y+a\,.$$

Pour tous réels $a,b,c$ et $d$, on a $$ (a\leq b \text{ et } c \leq d) \Rightarrow a+c\leq b+d \,.$$

Multiplications

Pour tous réels $x,y$ et pour tout réel $a>0$, on a $$ x\leq y \Leftrightarrow ax \leq ay\,.$$

Pour tous réels $x,y$ et pour tout $a < 0$, on a $$ x \leq y \Leftrightarrow ax\geq ay\,.$$

Pour tous $x,y$ non nuls et de mêmes signes , on a $$ x \leq y \Leftrightarrow \frac{1}{x} \geq \frac{1}{y} \,.$$

Valeurs absolues

Définition
Soit $x$ un réel. On appelle valeur absolue de $a$ et on note $|a|$ le nombre $\mathrm{Max}(a,-a)$. Le nombre réel positif $|a|$ représente la distance entre $a$ et $0$.
Proposition
Soient $a,b$ des réels.

Le nombre $|a-b|$ est la distance de $a$ à $b$.

L'équation $|x-a|=b$ possède deux solutions : $a+b$ et $a-b$.

$|a+b|\leq |a|+|b|$

Sous-ensembles de $\mathbb{R}$.

Un nombre réel est un élément de $\mathbb{R}$. Si $x$ est un nombre réel, on écrit $x\in \mathbb{R}$ et on lit "$x$ appartient à $\mathbb{R}$" ou "$x$ est un élément de $\mathbb{R}$". Un sous-ensemble $A$ de $\mathbb{R}$ est une partie de $\mathbb{R}$, une collection d'éléments de $\mathbb{R}$. Un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ peut être vide, ou ne posséder qu'un élément (singleton), ou plusieurs éléments distincts.

S'il on peut faire une liste des éléments d'une partie $A$, on écrit cette liste entre deux accolades. Plus généralement, si les éléments d'une partie $A$ sont exactement ceux vérifiant une certaine relation $\mathcal{R}(x)$ dépendant de $x$, on écrira $$ A=\{ x\in \mathbb{R},\, \mathcal{R}(x)\}\,.$$ Par exemple, l'intervalle $[a,b[$ peut s'écrire $$[a,b[ = \{x \in \mathbb{R},\, a\leq x < b\}\,.$$

Si $A$ et $B$ sont des parties $\mathbb{R}$ telles que tous les éléments de $A$ soient des éléments de $B$, on dira que $A$ est inclus dans $B$ ou que $B$ contient $A$, et on écrira $A\subset $B$ ou $B \supset A$. De plus, $$ A=B \Leftrightarrow (A\subset B \text{ et } B\subset A)\,.$$

Réunions

Si $A$ et $B$ sont des parties $\mathbb{R}$, on appelle réunion de $A$ et $B$ la partie de $\mathbb{R}$ dont les éléments sont les réels qui appartiennent à $A$ ou à $B$. On écrit $$ A\cup B = \{ x\in \mathbb{R},\, x\in A \text{ ou } x\in B \} $$ Attention : le "ou" est non exclusif.

Intersections

Si $A$ et $B$ sont des parties $\mathbb{R}$, on appelle intersection de $A$ et $B$ la partie de $\mathbb{R}$ dont les éléments sont les réels qui appartiennent à $A$ et à $B$. On écrit $$ A\cap B = \{ x\in \mathbb{R},\, x\in A \text{ et } x\in B \}$$

Complémentaires

Si $A$ et $B$ sont deux sous-ensembles de $\mathbb{R}$ tels que $A\subset B$, on appelle le complémentaire de $A$ dans $B$, le sous-ensemble des éléments de $B$ qui ne sont pas dans $A$. On note ce sous-ensemble $$ \mathcal{C}_B A = \{x\in \mathbb{R}\,, x\in B \text{ et }x\notin A \}\,.$$

Domaine de définitions

  1. Une fraction.

    Le domaine de définition d'une expression $f(x)=\frac{n(x)}{d(x)}$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $d(x) \neq 0$.

    Exemple. Le domaine de définition de l'expression $\frac{1}{1-x}$ est $$\mathbb{R}\setminus\{1\} = \{x\in\mathbb{R},\, x \neq 1\}\,.$$

  2. Une racine carrée.

    Le domaine de définition d'une expression $f(x)=\sqrt{q(x)}$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $q(x)>0$.

    Exemple. Le domaine de définition de l'expression, $\sqrt{x-1}$ est $\{x \in \mathbb{R}\,, x\neq 1\}$.

  3. Logarithme néperien.

    Le domaine de définition d'une expression $f(x) = \log(u(x))$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $u(x) > 0$.

    Exemple. Le domaine de définition de l'expression $\log(2x + 1)$ est $\{x \in \mathbb{R},\, x>-\frac{1}{2}\}$.

Fonctions

Définition

Une fonction réelle $f$ à une variable réelle est la donnée de deux sous-ensembles $E$ et $F$ de $\mathbb{R}$ et d'une correspondance qui à tout élément $x$ de $E$ associe un et un seul élément $y$ de $F$ que l'on note $f(x)$.

Si $f$ est une fonction réelle d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$, on note $$ \begin{array}{rcl} f \colon E &\to &F \\ x &\mapsto& f (x)\,. \end{array} $$

$E$ est appelé l'ensemble de départ de la fonction $f$. $F$ est appelé l'ensemble d'arrivée de la fonction $f$. Pour tout $x \in E$, l'élément $f(x)$ est appelé l'image de $x$ par la fonction $f$. Un élément $x$ de $E$ est un antécédent de l'élément $y$ de $F$ par $f$ lorsque $f(x) = y$.

Exemple. Soit $ f \colon [ 2, 1[ \to \mathbb{R}$, la fonction définie par $$f(x)=x^2+2x-2\,.$$ On a par exemple : $f(-2) = -2,\, f(-1)=-3,\, f(0)=-2$. Le nombre $-2$ possède deux antécédents : $0$ et $-2$. Ce sont les solutions de l'équation $f(x)=-2$.

Exemple. Fonction partie entière. Pour tout nombre réel $x\in\mathbb{R}$, il existe un unique nombre entier relatif $n\in\mathbb{Z}$ tel que $n\leq x < n+1$. On appelle ce nombre $n$ la partie entière de $x$ et on le note $E(x)$. On définit ainsi une fonction $E$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{Z}$.

Equations

Définition
Une équation en mathématiques est une égalité entre deux expressions comportant une ou plusieurs inconnues d'un ensemble $E$. Résoudre une équation sur $E$ c'est déterminer ses solutions qui sont les valeurs des variables (inconnues), dans $E$, pour lesquelles l'équation est satisfaite lorsqu'on substitue ces valeurs aux variables.
Exemples
  1. Soit $E = R$. Soit l'équation à une inconnue $x$ : $$ x^2 + 3x + 2 = x^2 + 9x- 6\,.$$ Les solutions de cette équation sont : $x = 1$ ou $x = -4$. L'ensemble des solutions de cette équation est $\{ -4; 1\}$.
  2. Soit $E = \{ -2, -1, 3, 4, 6, 8\}$. Soit l'équation $2x + y = 6$ où $x$ et $y$ sont deux inconnues de l'ensemble $E$. Une solution de cette équation est un couple $(x, y)$ d'éléments de $E$. L'ensemble de solutions de cette équation sur l'ensemble $E$ est $\{( 1, 8), (4, 2)\}$.

Résolution par implication

On cherche les solutions possibles puis on vérifie si les valeurs trouvées sont effectivement des solutions.
Exemple
Soit l'équation d'inconnue $x$ dans $\mathbb{R}$ $$ \sqrt{x^2+5} = x + 1\,.$$ Si $x$ est solution de cette équation, alors (implication) en élévant au carré les deux membres de cette égalité ($a = b \Rightarrow a^2 = b^2$), on obtient : $$ -x^2+5=x^2+2x+1\,.$$ Soit l'équation du second degré : $-2x^2- 2x + 4 = 0$ ou encore $x^2+2x-2=0$. Les solutions de cette équation sont $x=1$ et $x=-2$. Les solutions potentielles de l'équation de départ sont donc $x=1$ et $x=2$. On vérifie si c'est effectivement le cas.
  • $1$ est bien une solution de l'équation.
  • $-2$ n’est pas solution puisque $1 \neq -1$.
L'équation de départ admet une seule solution dans $\mathbb{R}$. Son ensemble de solutions est $\{1\}$.

Résolution par équivalence

Cette méthode consiste à remplacer, successivement, l'équation par des équations équivalentes (i.e. ayant les mêmes solutions).
Exemple
$$ \begin{array}{l} \sqrt{-x^2+5}=x+1 \\ \phantom{\sqrt{x}} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x\in[-\sqrt{5},\sqrt{5}] \\ x \geq -1 \\ -x^2+5 = x^2+2x+1 \end{array} \right. \\ \phantom{\sqrt{x}} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x\in[-1,\sqrt{5}] \\ x \geq -1 \\ x^2+x+2=0 \end{array} \right. \\ \phantom{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x=1 \,. \end{array} $$

Résolution par dijonction de cas

Résoudre une équation sur un ensemble $E$ par disjonction des cas consiste à résoudre cette équation sur des sous-ensembles de $E$, disjoints et dont la réunion est égale à $E$.

Exemple
Soit à résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation : $x + |x-1| = 1 + |x|$. On cherche à résoudre cette équation sur les trois sous-ensembles de $\mathbb{R}$ suivants :
  1. le sous-ensemble $]-\infty, 0]$,
  2. le sous-ensemble $]0, 1]$,
  3. le sous-ensemble $]1, +\infty [$.
Ces trois sous-ensembles sont disjoints et leur réunion est $\mathbb{R}$.
  • Sur $]-\infty,0]$, alors l'équation s'écrit : $x + 1 - x = 1 - x$ et donc $x = 0$.
  • Sur $]0, 1]$, alors l'équation s'écrit : $x+1-x = 1+x$. Cette dernière équation admet la seule solution $x = 0$ mais $0$ n'est pas dans $]0, 1]$.
  • Sur $]1, +\infty[$, alors l'équation s'écrit : $x + x - 1 = 1 + x$ qui admet $x = 2$ comme seule solution. De plus, $2$ est bien un élément de $]1, +\infty[$.
Conclusion. L'ensemble des solutions de l'équation $x + |x-1| = 1 + |x|$, dans $\mathbb{R}$, est l'ensemble $\{0,2\}$.