L1

Résoudre les systèmes suivants. $$ (1)\qquad \left\{ \begin{array}{ccccl} 3x\ & - & y & = & 6\\ x\ & + & y & = & - 2.\\ \end{array} \right. \\ (2)\qquad \left\{ \begin{array}{ccccl} 2x & - & y & = & 4\\ - x & + & \frac 12 y & = & 3\\ \end{array} \right. \\ (3) \qquad \left\{ \begin{array}{ccccl} x & - & y & = & 3\\ - 5x & + & 5y & = & - 15\\ \end{array} \right. $$

Résoudre les systèmes suivants. $$ (1) \qquad \left\{ \begin{array}{ccccccl} x & - & y & - & z & = & 6\\ x & - & 2y & - & 3z & = & 10\\ 5x & + & 6y & + &z & = & 2. \end{array} \right. \\ (2) \qquad \left\{ \begin{array}{ccccccl} x & + & 2y & + &z & = & 8\\ 2x & + &y & - & z & = & 1\\ 3x & - &y & + &2z & = & 7.\\ \end{array} \right. \\ (3) \qquad \left\{ \begin{array}{ccccccl} x & + &2y & +&z & = &1\\ 2x & + &y & - & z & = & - 1\\ 3x & + &4y & - &z & =& - 3\\ \end{array} \right. $$

Résoudre $$ \left\{ \begin{array}{ccccl} 4x&-&2y&=&14\\ 3x&+&5y&=&4 \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{rcccl} 5x&-&3y&=&-4\\ x&-&9y&=&-20 \end{array} \right. $$

Résoudre $$ \left\{ \begin{array}{rcrcl} 2x\sqrt{3}&-&3y\sqrt{5}&=&7\\ 3x\sqrt{3}&+&y\sqrt{5}&=&5 \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{rcrcl} (8+2i)x&-&5y&=&7+i\\ (-i+3)x&-&(5i+2)y&=&3+2i \end{array} \right. $$

Résoudre les systèmes suivants \begin{gather*} \left\{ \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &-& z &=& 0 \\ x &-& y & & &=& 0 \\ x &+& 4y &+& z &=& 0 \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{rcrcrcl} x &+& y &+& 2z &=& 5 \\ x &-& y &-& z &=& 1 \\ x & & &+& z &=& 3 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{rcrcrcl} 3x &-& y &+& 2z &=& a \\ -x &+& 2y &-& 3z &=& b \\ x &+& 2y &+& z &=& c \end{array} \right. \end{gather*}

Trouver trois réels $\alpha, \beta, \gamma$ tels que pour tout polynôme de degré $\le 3$ on ait : $$ \int_{2}^4 P(x)\; dx = \alpha P(2) + \beta P(3) + \gamma P(4).$$

Quelle quantité de lait contenant $1,5\%$ de matières grasses doit on mélanger avec de la crème contenant $30\%$ de matières grasse pour obtenir $10$ litres de lait contenent $4,5\%$ de matières grasse ?

En utilisant un système d'équations linéaires, équilibrer la réaction chimique \begin{equation*} {\rm Al} ({\rm OH})_3 +{\rm H}_2 {\rm SO}_4 \longrightarrow {\rm Al}_2 ({\rm SO}_4)_3 + {\rm H}_2 {\rm O} \, . \end{equation*}

Un individu vit dans un milieu où il est susceptible d'attraper une maladie par piqûre d'insecte. Il peut être dans l'un des trois états suivants : immunisé ($I$), malade ($M$), sain ($S$), c'est-à-dire non malade et non immunisé. D'un mois à l'autre, son état peut changer selon les règles suivantes :

1. étant immunisé $I$, il peut le rester avec une probabilité $0,9$ ou passer à l'état $S$ avec une probabilité $0,1$ ;
2. étant dans l'état sain $S$, il peut le rester avec une probabilité $0,5$ ou passer à l'état $M$ avec une probabilité $0,5$ ;
3. étant malade $M$, il peut le rester avec une probabilité $0,3$, ou passer à l'état $I$ avec une probabilité $0,6$, ou encore passer à l'état $S$ avec une probabilité $0.1$.

Quel pourcentage d'individus malades doit-on s'attendre à trouver dans la population à terme ?

1. Calculer les modules des nombres complexes suivants :
   1. $4 + 3 i$.
   2. $7 + i$.
   3. $2 - 3 i$.
2. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
   1. $\displaystyle \frac{3 - 2 i}{4 + 3 i}$.
   2. $\displaystyle \frac{2 - 2 i}{7 + i} + \frac{3 + 4 i}{2 - 3 i}$.

Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants :

1. $z_1 = - 1$.
2. $z_2 = i$.
3. $z_3 = 1 + i$.
4. $z_4 = - 1 - i$.
5. $z_5 = 1 + i \sqrt{3}$.
6. $z_6 = 3 + 4 i$.
7. $z_7 = 7 + 24 i$.
8. $z_8 = 3 - 4 i$.
9. $z_9 = 24 - 10 i$.

1. Pour quelle valeur du réel $a$, l'équation $$z^2 - 2z + a = 0$$ admet-elle le nombre complexe $1 + i$ comme solution ?
2. Quelle est alors l'autre solution ?

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

1. $z^2 + z + 1 = 0$.
2. $z^2 - 8 z + 64 = 0$.
3. $2 z^2 -+6 z +5 = 0$.
4. $4z^2 - 2 z + 1 = 0$.
5. $z^4 + 2 z^2 + 4 = 0$.
6. $z^2 + 2\sqrt{3} z + 7 = 0$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations $x^2+2x+5=0$ et $x^2+25=0$.
2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations $z^2-(4+2i)z+2+4i=0$
3. Résoudre $z^4+z^2+1=0$ algébriquement puis géométriquement.
4. Résoudre $z^2+(-1+3i)z-4-3i=0$.

Les expressions suivantes sont-elles des polynômes ? Si oui, les mettre sous forme canonique et préciser leur dergré : $$ x+\frac{x+3}{x+5} \,,\quad x+(x+3)^2 (x+5) \,, \quad x\frac{x^2+2x+1}{x+1} \,, \quad\sum_{i=0}^n x^i(x+1) \,, \quad (x+1)^3 \,, \quad (x+1)^4 $$

Les problèmes suivants peuvent se ramener à l'étude de racines de polynômes. Le montrer et expliciter le polynôme en question. On ne demande pas de résoudre l'équation !

1. Trouver un réel $x$ tel que $x=1/x$
2. Trouver un réel $x$ tel que $\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}=0$
3. Trouver un complexe $x$ tel que $\frac{1}{1+\frac{1}{1+x^2}} =1$
4. Trouver deux complexes $x$ et $y$ tels que $y=x^2 $ et $x^3+x^5=1$
5. Trouver deux réels $x$ et $y$ tels que $y=x^4-1 $ et $y^6+x^4=1$

Pour quelles valeurs de $a$ le polynôme $$P(X)=(X+1)^7-X^7-a$$ admet-il une racine multiple réelle ?

1. Montrer que le polynôme $x+1$ ne divise pas le polynôme $x^4+x+1$.
2. Montrer que le polynôme $x^2+1$ ne divise pas le polynôme $x^4+x+1$.
3. Montrer que le polyn\^ome $x^3+x-2$ ne divise pas le polyn\^ome $x^4+x+1$.

1. Un polynôme de degré $8$ peut-il diviser un polynôme de degré $6$ ?
2. Donner un exemple de polynôme de degré $6$ qui divise un polynôme de degré $8$.

1. Le polynôme $x^2-3x+2$ divise le polynôme $ x^3-4x^2+x+2$. Trouver le quotient.
2. Le polynôme $x^2+1$ divise le polynôme $ x^4+x^3-x-1 $. Trouver le quotient.

1. Vérifier que les quotients et restes de la division euclidienne de $x^ 3+2x^ 2+3 $ par $x^ 2-x-1 $ sont $ x+3$ et $4x+6 $ respectivement.
2. Vérifier que les quotients et restes de la division euclidienne de $x^3+x^2+x+1 $ par $x^ 2+1 $ sont $ x+1$ et $0 $ respectivement.
3. Vérifier que les quotients et restes de la division euclidienne de $x^4+x^3-x^2-x+1 $ par $x^2-4x+1 $ sont $ x^2+5x+18$ et $66 x-17 $ respectivement.

1. La relation : $3 x^2 -1= (x^2+1)(x^2-1) + (3 x^2-x^4)$ implique t-elle que les quotients et restes de la division euclidienne de $3x^2-1 $ par $(x^2+1) $ sont $ x^2-1$ et $ 3 x^2-x^4 $ respectivement ?
2. Que donne en fait la division euclidienne de $3 x^2-1 $ par $(x^2+1) $ ?

Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : $$ \begin{array}{lll} 3X^5+4X^2+1 &\text{ par } &X^2+2X+3 \\ 3X^5+2X^4-X^2+1 &\text{ par } &X^3+X+2 \\ X^4-X^3+X-2 &\text{ par } &X^2-2X+4 \\ X^6+2X^4+X^3+1 &\text{ par } &X^3+X^2+1 \\ X^5-7X^4-X^2-9X+9 &\text{ par } &X^2-5X+4 \end{array} $$

Décomposer dans $\mathbb{R}[X]$ et $\mathbb{C}[X]$ les polynômes suivants $$ X^3-1\,,\qquad X^{12}-1\,,\qquad X^4+1 \,,\qquad X^6+1 \,,\qquad X^9+X^6+X^3+1\,. $$

Division suivant les racines croissantes : $$ \begin{array}{llll} X^4+X^3-2X+1 &\text{ par } &X^2+X+2 &\text{à l'ordre } 2 \,,\\ X^6+2X^4+X^3+1 &\text{ par } &X^3+X^2+1 &\text{à l'ordre }4 \end{array}$$

Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{C}[X]$ les fractions rationnelles suivantes : $$ A =\frac{X^4+2X^2-1}{X^2(X^2+1)^2} \,,\qquad B = \frac{1}{X^2+X+1} $$

Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}[X]$ les fractions rationnelles suivantes : \begin{align*} A&=\frac{2X^3 - X^2 + 5} {(X^2 - 1)(X^2 + X + 1)} & B&=\frac{2X^3 + X^2 - 8X - 16} {(X^2 - 3X + 2)(X^2 + 2X + 4)} \\ C&=\frac{X^5 + 4X^4 - 6X^2 - 14X - 19} {(X^2 + X-6)(X^2 + 1)} & D&=\frac{X +3}{X^2(X + 1)^2} \end{align*}

Pour les questions suivantes, on pourra donner la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple $\{1 , 3\}$, $ [0,1[$ ou $[2, 4[ \cup [5,6]$)

1. Déterminer l'ensemble des solutions sur $\mathbb{R}$ de $\lvert{x + 7}\rvert \geq 3$.
2. Déterminer l'ensemble des réels $x$ qui satisfont $\lvert{x + 2}\rvert = 2-x$.
3. Résoudre l'équation $$ |x-1| = 2x-1 . $$
Donner les solutions de $ 3 |x-1| + |x-2| = 3 $.
4. Existe t-il des réels $x$ vérifiant: $ x^2 = | x+2|$ ? Si oui, lesquels ?

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

1. $\displaystyle f_1(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{2x - 5}}$.
2. $\displaystyle f_2(t) = \ln(3 - \sqrt{2t + 1})$.
3. $\displaystyle f_3(y) = \ln\Bigl( \ln (y - 1) - 1\Bigl)$.
4. $\displaystyle f_4(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x^2 - 4}}.$
5. $\displaystyle f_5(x) = \frac{x - 1}{\ln (x - 1)}$.

Résoudre les équations suivantes

1. $\sqrt{2x + 3} = x - 6$.
2. $2x - 3\sqrt{x} - 2 = 0$.
3. $\sqrt{x^2 - 2x} = x - 3$.
4. $\sqrt{x(x - 3)} = \sqrt{3x - 5}.$

Déterminer le domaine de définition de chacune des expressions suivantes et la résoudre sur ce domaine.

1. $\ln(x - 1) - \ln(x -2) = \ln(2x - 1) - \ln(x + 4)$.
2. $\displaystyle \ln(\sqrt{5 - x^2} - 1) = 1$.
3. $\ln(x - 3) + \ln(x - 4) = \ln(\vert x - 5\vert)$.
4. $\ln(\sqrt{2x^2 -3} - 1) = 1$.
5. $2 \sqrt{\ln(5 - x^2) + 1} = 1.$

Résoudre $ 2^x =1024 $.

Trouver des réels $x,y$ tels que~: $$ 2^x 3^y = 6 \hbox{ et } 5^x 2^y =10. $$

Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \vert x\vert$ n'est pas dérivable en $0$.

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : $$ (1)\, f(x) = \ln(\vert x\vert). \quad (2)\, f(x) = \tan\Bigl(\sqrt{1 - x^2}\Bigl)\,. \\ (3)\, f(x) = x\Bigl (\vert x - e^x \tan(x)\vert\Bigl) \quad (4)\, f(x) = (1 + x^2)^{x^2}. \\ (5)\, f(x) = \sin\Bigl[\cos\Bigl(\sin(x)\Bigl)\Bigl]. \quad (6)\, f(x) = \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}. \\ (7)\, f(x) = x^2 \cos\left(\frac 1x\right) \quad\mathrm{si}\quad\ x \not = 0\quad \mathrm{et}\quad f(0) = 0. $$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\backslash\{1\}$ par $$ f(x) = \frac{\vert x\vert \sqrt{x^2 - 2x + 1}}{x - 1}\,.$$ Etudier la dérivabilité de $f$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, calculer la fonction dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ définie par $$f(x) = \sin^2(x)\,.$$

1. Montrer que, pour tout réel $x \geq 0$, $$ x - \frac{x^2}2 \leq \ln(1 + x)\,. $$
2. Montrer que, pour tout réel $x > - 1$ $$ \ln(1 + x) \leq x\,.$$
3. En déduire que, pour tout entier $n \geq 2$, $$ \Bigl(1 + \frac 1n\Bigl)^n \leq e \leq \Bigl(1 - \frac 1n\Bigl)^{-n}\,.$$

1. Montrer que, pour tout réel $x \geq 0$, $$ x \leq \sinh(x)\,.$$
2. Montrer que, pour tout réel $x$, $$ 1 + \frac{x^2}2 \leq \cosh(x)\,.$$

Etudier la fonction $f \colon x \mapsto x^{- \ln(x)}$.

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes (on ne demande pas les ensembles de définition, ni de dérivabilité) :

1. $f(x) = \tan\Bigl(\sqrt{1 - x^2}\Bigl)$.
2. $g(x) = \Bigl(1 + x^2\Bigl)^{1 + 3x}$.
3. $h(x) = \ln\Bigl\vert \sin(x) - e^{\cos(3x)}\Bigl\vert$.

(Formules de trigonométrie) Montrer que $ \cos(3x) = 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x).$. \end{exo}

Linéariser les expressions suivantes :

1. $ \cos^2(x) + \cos^3(x)$.
2. $\cos^2(x)\sin^2(x)$.

Ecrire $\cos^3(x), \sin^3(x)$ et $ \cos(2x) \sin(x) $ comme une combinaison linéaire de : $$ \cos(x), \sin(x), \cos(3x), \sin (3x) .$$

Considérons donnés $x$ et $y$ deux réels tels que $\cos(x) = \frac{1}{2}$ et $\cos(y) = \frac{1}{3}$. On suppose que $ x,y$ sont dans l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2}] $. Calculer $\sin (2x - y)$.

Montrer que, pour tout $x \in \mathbb R$ non multiple entier de $\pi$, on a $ \cos(x) \cos(2x) \cos(4x) =\frac{\sin(8x)}{8 sin(x)}$.

Résoudre les équations : \begin{enumerate} \item $ \sin(x) = \cos(x) $, \item $ \sin(x) = \frac{1}{2} $, \item $ \sin(x+\pi) = \sin (x) $. \end{enumerate}

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes (on ne demande pas les ensembles de définition, ni de dérivabilité) :

1. $f(x) =\ln(2x+1)\tan (x)$
2. $g(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x}}$
3. $h(x) = e^{\arctan(3x)}$

Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes : \begin{equation*} \cosh(x) + 2\sinh(x) = 2 . \end{equation*} On pourra poser $t = e^x$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $$f(x) = x \sinh(\frac 1x)\,.$$

1. Etudier la parité de $f$.
2. Etudier la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ et lorsque $x$ tend vers $0$, $x \not = 0$.
3. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et calculer sa dérivée.
4. Montrer que, pour tout $y \geq 0$, $\tanh(y) \leq y$. En déduire le tableau de variations de $f$, puis tracer la courbe représentative de $f$.

Calculer \begin{gather*} \int_0^{\pi/2}\sin^2x\cos^3x\,dx \qquad \int_0^{\pi/4}\frac{\sin^4x}{\cos^2x}\,dx \\ \int_0^{\pi/3} \frac{\sin(2t)}{1+\cos t}\,dt \qquad \int_0^{\pi/4}\frac{1}{1+\cos^2t}\,dt \\ \int_0^{\pi/4}\frac{\sin(2x)}{1+\cos x}\,dx \qquad \int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2x)+\sin x}{3+\cos(2x)}\,dx \end{gather*}

Calculer $\mathrm{th}(\ln a)$ et puis $$\int_{\ln\sqrt{2}}^{\ln\sqrt{3}} \frac{\mathrm{ch}^2 t + \mathrm{sh}^2 t}{\mathrm{ch}^3t\,\mathrm{sh} t}\,dt $$ en posant $u = \mathrm{th} t$.

Montrer que pour tout $x \in\mathbb{R}$, $$ \left( 1+\cos(2x)\right)^2=\frac{3}{2}+2\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(4x)\,. $$ En déduire une primitive de la fonction $x\mapsto \left( 1+\cos(2x)\right)^2$.

Calculer les primitives suivantes : $$ \int (2x-1)e^x\,dx \,,\quad \int x^2\left(1-2\ln(x)\right)\,dx \,,\quad \int (2t-1)\sin(t)\,dt\,. $$

Calculer les primitives suivantes : \begin{gather*} \int e^x\cos(x)\,dx\,,\quad \int x\ln (x)\,dx \,,\\ \int x^2\ln (x)\,dx\,,\quad \int(x^2+x+1)e^x\,dx\,. \end{gather*}

Soient $$ I=\int (2t-3)\cos^2(t)\,dt \text{ et } J=\int (2t-3)\sin^2(t)\,dt $$

1. Calculer $I+J$.
2. Calculer $I-J$ (en utilisant par exemple une intégration par partie).
3. Calculer $I$ et $J$.

Calculer $$ \int \frac{1}{1+\cosh(x)}\,dx $$

Calculer les primitives suivantes : \begin{gather*} \int \frac{1}{x(x-1)}\,dx\,,\quad \int \frac{dx}{1-x^2}\,,\quad \int \frac{2x+3}{(x-2)(x+5)}\,dx\,. \\ \int \frac{dx}{x(x^2-1)}\,,\quad \int \frac{dx}{(x+2)(x^2+2x+5)}\,,\quad \int \frac{x^3}{x^2+4}\,dx\,. \end{gather*}

A l'aide du changement de variable $u=\frac{x^2}{3}$, calculer $$\int \frac{x}{x^4+9}\,dx$$

(Changements de variables) Calculer les intégrales suivantes : \begin{gather*} \int_1^4 \frac{1-\sqrt{t}}{\sqrt{t}}\,dt \,,\quad \int_1^2 \frac{e^x}{1+e^x}\,dx\,, \\ \int_1^e \frac{(\ln(x)^n}{x}\,dx\;(n\in\mathbb{N})\,,\quad F(x)=\int_1^x \frac{e^t}{(3+e^t)\sqrt{e^t-1}}\;(x>0). \end{gather*}

Résoudre les équations différentielles suivantes sur $\mathbb{R}$..

1. $y' + 2y = 3$.
2. $y' - y = x$.
3. $y' + y = x - 3$.

Résoudre les équations différentielles suivantes sur l'intervalle $I$.

1. $y' + xy = x, \quad I = \mathbb{R}$.
2. $y' - \frac y x = x^2, \quad I = ]0, + \infty[$.
3. $y' - \frac{2x}{1 + x^2} y = 1, \quad I = ]0, + \infty[$.
4. $y' - y \tan(x) = - \cos^2(x), \quad I = ]- \frac \pi 2, \frac \pi 2[$.
5. $y' \cos(x) + y \sin(x) = x, \quad I = ]- \frac \pi 2, \frac \pi 2[$.

Résoudre sur un intervalle convenable les équations différentielles suivantes :

1. $y' + \frac 1{x^2} y = - \frac 1{x^3}.$
2. $y' + y \tan(x) = \cos^2(x).$
3. $y' + 2y = e^x$.
4. $y' + 2y = x e^x + e^{-2x}.$
5. $y' - y = \sin(x).$
6. $y' - y = (x + 1)e^x.$
7. $y' + y = x - e^x + \cos(x)$.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

1. $(x^2 + 1) y' + 2x y + 1 = 0.$
2. $(x^2 + 1)y' - xy = (x^2 + 1)^{\frac 32}$.
3. $(x^2 + 1)^2y' + 2x(x^2 + 1)y = 1.$

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés :

1. $(1 + e^x) y' + y e^x = (1 + e^x)$ sur $\mathbb{R}.$
2. $(e^x - 1) y' + y e^x = 1$ sur $ ]0, + \infty[$ et $]- \infty, 0[$.
3. $x(1 + \ln^2(x)) y' + 2y\ln(x) = 1$ sur $]0, + \infty[$.

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés :

1. $(2 + \cos(x)) y' + y \sin(x) = (2 + \cos(x))\sin(x)$ sur $\mathbb{R}.$
2. $(1 + \cos^2(x)) y' - y \sin(2x) = \cos(x)$ sur $\mathbb{R}.$
3. $y' \sin(x) - y \cos(x) + 1 = 0$ sur $]0, \pi[$.
4. $y' \sin^3(x) = 2y \cos(x)$ sur $]0, \pi[$.

Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés :

1. $y' \cosh(x) - y \sinh(x) = \sinh^3(x)$ sur $\mathbb{R}$
2. $y' - \frac{\sinh(x)}{1 + \cosh(x)} y = \sinh(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. y' \sinh(x) - y \cosh(x) = 1$ sur $\ ]0, + \infty[\ \mbox{et}\ ]-\infty, 0[$.

On considère l'équation différentielle suivante : \begin{equation*} y' + y = \frac 1{1 + e^x}. \end{equation*}

1. Résoudre cette équation.
2. Donner la solution $y$ de cette équation telle que $y(0) = 0$.
3. Calculer $\displaystyle \int_0^1 y(x) dx$, où $y$ est la fonction de la question (2).

Résoudre chacune des équations différentielles suivantes :

1. $(1 + t^2) y' + t y = \sqrt{1 + t^2}$
2. $\displaystyle y' + \frac 1{3t} y = t^{-\frac 13} \cos(t)$.
3. $\displaystyle y' - \frac 1{2t} y = t^{\frac 32} e^t$.
4. $(1 + t^2) y' - ty = t$.

On considère l'équation différentielle \begin{equation*} (E) \quad \quad (1 - t^2) y' - 2t y = 1. \end{equation*}

1. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur l'intervalle $]- 1, 1[$.
2. Déterminer la solution qui prend la valeur $1$ pour $t = 0$.
3. Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur l'intervalle $]- \infty, - 1[$.

Résoudre les équations différentielles suivantes, en précisant soigneusement l'intervalle de résolution.

1. $\Bigl( \cos(t)\Bigl) y' - \Bigl(\sin(t)\Bigl) y + \cos(t) = 0$.
2. $y' + \Bigl(\tan(t)\Bigl) y = \sin(t)$.
3. $t^3 y' + 4(1 - t^2) y = 0$.
4. $\vert 1 - t\vert y' + t y = t$.
5. $y' + \Bigl(\tan(t)\Bigl) y = \cos(t)$.
6. $\Bigl(\tan(t)\Bigl) y' + y - \sin(t) = 0$.

Donner la forme générale des solutions des équations différentielles suivantes sur $\mathbb{R}$, puis calculer la solution vérifiant les conditions initiales données.

1. $y'' + y = 0, \quad y(0) = 1, \ y'(0) = 0$.
2. $y'' - 3y' + 2y = 0, \quad y(0) = y'(0) = 1$.
3. $y'' + 2y' + 2y = 0, \quad y(0) = 0, \ y'(0) = 1$.
4. $y'' - 2y' + y = 0, \quad y(0) = 0, \ y'(0) = - 2$.
5. $y'' + y' + y = 0, \quad y(0) = 0, \ y'(0) = -1$.

Résoudre, sur $\mathbb{R}$, les équations différentielles suivantes :

1. $ y'' + y = \cos^2\bigl(\frac x2\bigl)$.
2. $y'' - 3y' + 2y = x^3$.
3. $y'' - 2y' + y = e^x + e^{- x}$.
4. $y'' + y' + y = e^x + e^{- x}$.
5. $y'' + 2y' + 2y = e^{- x} \cos(x), \quad y(0) = 1, \, y'(0) = 0$.

On considère l'équation différentielle $$ y'' - 4y = 4e^{-2x}\,.$$ Déterminer la solution dont la représentation graphique $\mathcal{C}$ admet une asymptote parallèle à l'axe $(Ox)$ et telle que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'intersection avec l'axe $(Oy)$ soit parallèle à la droite d'équation $y = x$.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

1. $y" + 2y' + 2y = 2x.$
2. $y" + y = x^2 + 1.$
3. $y" - 3y' + 2y = 2x^2$.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

1. $y" + 2y' + y = xe^x.$
2. $y" + y' - 2y = xe^x.$
3. $y" + 2y' + 2y = (x + 1)e^{- x}.$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

1. $y" + y =0.$
2. $y" - 3y' + 2y = 0.$
3. $y" - 2y' + y =0.$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes :

1. $y" + 2y' + 2y = 0.$
2. $y" + y = x \sin(x).$
3. $y" + y = 0.$

Soit $m$ un nombre réel. Résoudre, sur $\mathbb{R}$, l'équation différentielle \begin{equation*} (E_m) \quad y'' + 2m y' + y = 0. \end{equation*} On discutera en fonction des valeurs de $m$.

Résoudre l'équation différentielle suivante : \begin{equation*} (E) \quad y" - 2y' + 5y =0. \end{equation*}

On considère l'équation différentielle $$(E) \colon y" + 3 y' - 4 y = 0\,.$$

1. Trouver la solution générale de cette équation.
2. En déduire les solutions $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telles que $f(0) = 0$ et $f'(0) = 1$.
3. Calculer l'intégrale $\int_0^{\frac \pi 2} f(x) dx$.