Primitives

L1

Calculs et mathématiques

Calculs de primitives

Définitions

Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et $$ (\forall x \in I), \quad F'(x) = f(x). $$
Exemple
La fonction $F : x \mapsto x^2 + 3x$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f : x \mapsto 2x + 3$.
Théorème
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors toute primitive $G$ de $f$ sur $I$ est telle que $$ (\forall x \in I), \quad G(x) = F(x) + c, $$ où $c$ est une constante réelle.
Une primitive quelconque de $f$ est notée $\displaystyle \int f(x) dx$.

Primitives de fonctions usuelles

Fonction $f$ définie par Primitives $F$ de $f$ sur $I$
$f(x) = a$, $a$ constante $F(x) = ax + c, c \in \mathbb{R}$ $I = \mathbb{R}$
$ f(x) = x^\alpha, \alpha \in \mathbb{R}\setminus\{- 1\}$ $ F(x) = \frac1{\alpha + 1} x^{\alpha + 1} + c, c \in \mathbb{R}$ suivant $\alpha$
$f(x) = \frac 1x$ $ F(x) = Ln(\vert x\vert) + c, c \in \mathbb{R}$ $I = ]- \infty, 0[$ ou $I = ]0, + \infty[$
$f(x) = \sin(x)$ $F(x) = - \cos(x) + c, c \in \mathbb{R}$ $I = \mathbb{R}$
$f(x) = \cos(x)$ $F(x) = \sin(x) + c, c \in \mathbb{R}$ $I = \mathbb{R}$
$f(x) = 1 + \tan^2(x)$ $F(x) = \tan(x) + c, c \in \mathbb{R}$ $I = ] - \frac \pi2 + k\pi, \frac \pi2 + k\pi[, \ k \in \mathbb{Z}$
$f(x) = ch(x)$ $F(x) = sh(x) + c, c \in \mathbb{R}$ $I = \mathbb{R}$
$f(x) = sh(x)$ $F(x) = ch(x) + c, c \in \mathbb{R}$ $I = \mathbb{R}$
Propriétés
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$, alors
  1. $F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$,
  2. $(\forall \lambda \in \mathbb{R}), \quad \lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ sur $I$.
Le tableau suivant découle des règles de dérivation des fonctions. $u$ désigne une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Fonction $f$ définie par Primitives $F$ de $f$ sur $I$
$\displaystyle u' u^\alpha\ \alpha \in \mathbb{R}^*\backslash\{-1\}$ $\displaystyle \frac 1{\alpha + 1} u^{\alpha + 1} + c, c \in \mathbb{R}$ suivant $\alpha$
$\displaystyle \frac{u'}{u}$ $\displaystyle Ln(\vert u\vert )+ c, c \in \mathbb{R}$ $x \in I, \ u(x) \not = 0$
Exercice
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
  1. $\displaystyle f : x \mapsto x(1 + x^2)^3$ sur $\mathbb{R}$.
  2. $\displaystyle f : x \mapsto \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$ sur $\displaystyle I = ]- \frac \pi 2, \frac \pi 2[$.
  3. $\displaystyle f : x \mapsto \frac 1{\sqrt{3x + 5}}$ sur $\displaystyle I = ]- \frac 53, + \infty[$.

Méthodes générales

Changement de variable

La fonction $f$ est de la forme $(g \circ h) h'$, où $h'$ est la fonction dérivée de $h$. Dans ce cas, on effectue le changement de variable $t = h(x)$, on calcule une primitive $G$ de $g$, alors $G\circ h$ est une primitive de $f$.

Exercice
Déterminer les primitives de la fonction $$ \displaystyle f : x \mapsto \frac{\cos(x)}{2 + \sin(x)}. $$
Intégration par parties

La fonction $f$ est telle que $f(x) = g(x) h'(x)$. Une primitive $F$ de $f$ est alors $gh - F_1$ où $F_1$ est une primitive de la fonction $g'h$.

Exercice
Déterminer les primitives des fonctions $$ f : x \mapsto e^x \cos(x); \quad g : x \mapsto (x^2 + 1) e^x. $$

Primitives se ramenant à $I = \int P(x) e^{ax}, \ a \in \mathbb{C}$ et $P$ est un polynôme

Cas général
  1. Si $P$ est un polynôme de degré $n \geq 1$, on applique $n - 1$ fois la formule d'intégration par parties. On obtient un résultat de la forme $$ \int e^{ax} P(x) dx = e^{ax} Q(x) + c, \quad \mbox{où}\ Q \quad \mbox{est un polynôme de degré}\ n \quad\mbox{et}\quad c \in \mathbb{R}. $$
  2. On peut écrire $$ \int e^{ax} P(x) dx = e^{ax} Q(x) + c, \quad \mbox{où}\quad Q \quad \mbox{est un polynôme de degré}\ n, \quad\mbox{et}\quad c \in \mathbb{R} $$ écrire que la dérivée de $x : \mapsto e^{ax} Q(x)$ est la fonction $e^{ax} P(x)$, puis identifier les coefficients.
Primitive de la forme $I = \int P(x) e^{ax} \cos(bx) dx,\ J = \int P(x) e^{ax} \sin(bx) dx$

$P$ est un polynôme de degré $n \geq 1$, $a$ et $b$ sont deux nombres réels. Le résultat obtenu est de la forme (pour $I$ ou $J$) $$ I (ou J) = e^{ax}\Bigl(Q(x) \cos(bx) + R(x)\sin(bx)\Bigl) $$ où $Q$ et $R$ sont deux polynômes de degré $n$.

On écrit que la dérivée de l'expression $e^{ax}\Bigl(Q(x) \cos(bx) + R(x)\sin(bx)\Bigl)$ est égale à $P(x) e^{ax} \cos(bx)$ ou $P(x) e^{ax} \sin(bx)$ et identifier pour trouver les polynômes $Q$ et $R$.

Primitives d'une fraction rationnelle

  1. La partie polynomiale s'intègre directement.
  2. Les termes de la forme $\displaystyle \frac 1{(x - a) ^n}$, où $a$ est un nombre réel et $n$ est un entier naturel non nul. $$ \int \frac{dx}{(x - a)^n} = \left\{ \begin{array}{ll} Ln(\vert x - a\vert) + c & si\ \mbox{$n = 1$}\\ \\ \displaystyle \frac 1{(1 - n)(x - a)^{n - 1}} + c & si \mbox{$n > 1$}\\ \end{array} \right. $$
  3. Pour les termes de la forme $$ \frac{ax + b}{(x^2 + px +q)^n}, $$ on fait apparaître au numérateur la dérivée de $x^2 + px +q$. On obtient $$ \frac{ax + b}{(x^2 + px +q)^n} = \frac a2 \frac{2x + p}{(x^2 + px + q)^n} + \Bigl(b - \frac{ap}2\Bigl) \frac 1{(x^2 + px + q)^n}. $$
    1. Le premier terme s'intègre directement : $$ \int \frac{2x + p}{(x^2 + px +q)^n} dx = \left\{ \begin{array}{ll} Ln(x^2 + px + q) + c & si\ \mbox{$n = 1$}\\ \\ \displaystyle \frac 1{(1 - n)(x^2 + px + q)^{n - 1}} + c & si \mbox{$n > 1$}\\ \end{array} \right. $$
    2. Le second terme
      1. Si $n = 1$, alors $$ x^2 + px +q = \frac{4q - p^2}4 \Bigl[1 + \frac 4{4q - p^2}\Bigl(x + \frac p2\Bigl)^2\Bigl]. $$ On effectue le changement de variable $$ t = \frac 2{\sqrt{4q - p^2}} \Bigl(x + \frac p2\Bigl). $$ Alors $$ \int \frac{dx}{x^2 + px + q} = \frac 2{\sqrt{4q - p^2}} \int \frac{dt}{1 + t^2}. $$
      2. Si $n \geq 2$ et si $$ I_n = \int \frac{dt}{(1 + t^2)^n}\,, $$ alors $$ I_n = \frac t{2(n - 1)(1 + t^2)^{n - 1}} + \frac{2n - 3}{2n - 2} I_{n - 1}. $$
Définition
On appelle fonction arc tangente, et on note $arctan$, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ nulle en $0$, dérivable sur $\mathbb{R}$ et telle que $$ (\forall x \in \mathbb{R}), \quad arctan'(x) = \frac 1{1 + x^2}. $$
Exercice
Montrer que, pour tout $x$ dans l'intervalle $\displaystyle ] - \frac\pi 2, \frac \pi 2[$, $arctan\bigl(\tan(x)\bigl) = x$. On admettra que, pour tout réel $x$, $\tan\bigl(arctan(x)\bigl) = x$. On notera par $Arctan$, la fonction réciproque de la fonction tangente sur l'intervalle $\displaystyle ] - \frac\pi 2, \frac \pi 2[$.

Primitives de la forme $\int \cos^p(x) \sin^q(x) dx$.

On ne traitera ici que le cas $p$ et $q$ sont des entiers naturels pairs. \vskip 0,3cm A l'aide des expressions $$ \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} $$ on linéarise l'expression $\cos^p(x) \sin^q(x)$.
Exemple
$\displaystyle \int \cos^2(x) \sin^2(x) dx$. $$ \cos^2(x) \sin^2(x) = \Bigl(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}2\Bigl)^2\Bigl( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\Bigl)^2 = \frac 18\Bigl(1 - \cos(4x)\Bigl). $$

Primitives $\int f\Bigl(\cos(x), \sin(x)\Bigl)dx$, $f$ une fraction rationnelle

  1. Si $f\Bigl(\cos(x), \sin(x)\Bigl)dx$ est invariante lorsqu'on change $x$ en $- x$, on pose $t = \cos(x)$.
    Exemple $\displaystyle \int \frac{\sin(x)}{3 - 2\sin^2(x)} dx$.
  2. Si $f\Bigl(\cos(x), \sin(x)\Bigl)dx$ est invariante lorsqu'on change $x$ en $\pi - x$, on pose $t = \sin(x)$.
    Exemple $\displaystyle \int\frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} dx$.
  3. Si $f\Bigl(\cos(x), \sin(x)\Bigl)dx$ est invariante lorsqu'on change $x$ en $\pi + x$, on pose $t = \tan(x)$.
    Exemple $\displaystyle \int \frac 1{\sin^2(x)} dx$.
  4. Si non, on pose $\displaystyle t = \tan(\frac x2)$.
    Exemple $\displaystyle \int \frac {dx}{2 + \cos(x)}$.

Calculs d'intégrales

Définition

Définition
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $F$ une de ces primitives sur $I$. Soient $a$ et $b$ deux éléments de $I$. On appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ et on note $$ \int_a^b f(x) dx $$ le réel $F(b) - F(a)$.
Remarque
Attention : L'ordre de $a$ et $b$ est important. $$ \int_b^a f(x) dx = F(a) - F(b) = - \Bigl(F(b) - F(a)) = - \int_a^b f(x) dx. $$ En particulier $$ \int_a^a f(x) dx = 0. $$ et $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx $$ pour tout $c$ dans l'intervalle $[a, b]$.
Exemple
  1. $ \int_{-1}^2 (2x^2 + 3)dx.$
  2. $ \int_0^1 (\sqrt x - 1)^2 dx$.

Aire

Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de l'application $f$ dans un repère orthogonal. Soit $D$ la région du plan délimitée par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.
Théorème
Si $f$ est une fonction positive sur $[a, b]$, alors l'aire de $D$ est égale à $$ Aire(D) = \int_a^b f(x) dx \ (\mbox{unité d'aire}). $$
Théorème
Si $f$ est une fonction négative sur $[a, b]$, alors l'aire de $D$ est égale à $$ Aire(D) = - \int_a^b f(x) dx \ (\mbox{unité d'aire}). $$
Exemple
$f(x) = x(x - 1)(x - 4)$, $I = [1, 4]$ et l'unité d'aire est $4\ cm^2$.