Nicolas Prudhon

Travaux de Recherche

Translation of Dolbeault representations on homogeneous reductive spaces

to appear in Journal of Lie Theory, 2019. arXiv:1501.00502 [.pdf]

Nous donnons une intérprétation géométrique du foncteur de translation de Zuckerman dans le cadre de l'induction cohomologique (...) We adapt techniques used in the study of the cubic Dirac operator on homogeneous reductive spaces to the Dolbeault operator on a elliptic coadjoint orbit to prove that cohomologically induced representations have an infinitesimal character, that cohomological induction and Zuckerman translation functor commute and give a geometric interpretation of the Zuchkerman translation functor in this context.

Exhaustive families of representations of $C^{\ast }$-algebras associated to $N$-body Hamiltonians with asymptotically homogeneous interactions

With J. Mougel. CRAS, 2019. [.pdf]

We continue the analysis of algebras introduced by Georgescu, Nistor and their coauthors, in order to study $N$-body type Hamiltonians with interactions. (...) We continue the analysis of algebras introduced by Georgescu, Nistor and their coauthors, in order to study $N$-body type Hamiltonians with interactions. More precisely, let $Y\subset X$ be a linear subspace of a finite dimensional Euclidean space $X$, and $v_Y$ be a continuous function on $X/Y$ that has uniform homogeneous radial limits at infinity. We consider, in this paper, Hamiltonians of the form $H=-\mathrm{\Delta }+\sum _{Y\in \mathcal{S}}{v}_Y$, where the subspaces $Y\subset X$ belong to some given family $\mathcal{S}$ of subspaces. Georgescu and Nistor have considered the case when $\mathcal{S}$ consists of all subspaces $Y\subset X$, and Nistor and the authors considered the case when $\mathcal{S}$ is a finite semi lattice and Georgescu generalized these results to any families. In this paper, we develop new techniques to prove their results on the spectral theory of the Hamiltonian to the case where $\mathcal{S}$ is any family of subspaces also, and extend those results to other operators affiliated to a larger algebra of pseudodifferential operators associated to the action of $X$ introduced by Connes. In addition, we exhibit Fredholm conditions for such elliptic operators. We also note that the algebras we consider answer a question of Melrose and Singer.

Translation of harmonic spinors and interacting Weyl fermions on homogeneous spaces

With S. Mehdi. Preprint, 2017. [.pdf]

We show that the image of the Poisson map, defined by Mehdi and Zierau in 2014, which intertwines principal series representations with a submodule of the kernel of the cubic Dirac operator, commutes with the translation functor. (...) We show that the image of the Poisson map, defined by Mehdi and Zierau in 2014, which intertwines principal series representations with a submodule of the kernel of the cubic Dirac operator, commutes with the translation functor. As a byproduct, we obtain a systematic geometric process which produces interacting Weyl fermions with a fixed energy level on homogeneous spacetimes.

A refined HVZ-theorem for asymptotically homogeneous interactions and finitely many collision planes

With J. Mougel and V. Nistor. Preprint, 2017. [.pdf]

We study algebras associated to $N$-body type Hamiltonians with interactions that are asymptotically homogeneous at infinity on a finite dimensional, vector real space $X$. (...) We study algebras associated to $N$-body type Hamiltonians with interactions that are asymptotically homogeneous at infinity on a finite dimensional, vector real space $X$. More precisely, let $Y\subset X$ be a linear subspace and $v_Y$ be a continuous function on $X/Y$ that has uniform homogeneous radial limits at infinity. We consider in this paper Hamiltonians of the form $H=-\mathrm{\Delta }+\sum _{Y\in \mathcal{S}}{v}_Y$, where the subspaces $Y\subset X$ belong to some given, semi-lattice $\mathcal{S}$ of subspaces of $X$. Georgescu and Nistor have considered the case when $\mathcal{S}$ consists of all subspaces $Y\subset X$ (in a paper to appear in Journal of Operator Theory). As in that paper, we also consider more general Hamiltonians affiliated to a suitable cross-product algebra ${\mathcal{E}}_{S}X⋊X$. A first goal of this note is to see which results of that paper carry through to the case when $\mathcal{S}$ (the set of "collision planes") is finite and, for the ones that do not, what is their suitable modification. While the results on the essential spectra of the resulting Hamiltonians and the affiliation criteria carry through, the spectra of the corresponding algebras are quite different. Identifying these spectra may have implications for regularity of eigenvalues and numerical methods. Our results also shed some new light on the results of Georgescu and Nistor in the aforementioned paper and, in general, on the theory developed by Georgescu and his collaborators. For instance, we show that, in our case, the closure is not needed in the union of the spectra of the limit operators. We also give a quotient topology description of the topology on the spectrum of the graded $N$-body $C^{\ast }$-algebras introduced by Georgescu.

Exhausting families of representations and spectra of pseudodifferential operators

With V. Nistor. Preprint, 2014. arXiv:1411.7921 [.pdf]

We define the concept of an exhausting family of representations of a $C^{\ast }$-algebra $A$. If $\mathcal{F}$ is an exhausting family of representations of $A$ then we have that a differential operator $D$ affiliated to $A$ is invertible if, and only if, $\varphi (D)$ is invertible for all $\varphi \in \mathcal{F}$. This property characterizes exhausting families of representations. (...) A powerful tool in the spectral theory and the study of Fredholm conditions for (pseudo)differential operators is provided by families of representations of a naturally associated algebra of bounded operators. Motivated by this approach, we define the concept of an exhausting family of representations of a $C^{\ast }$-algebra $A$. Let $\mathcal{F}$ be an exhausting family of representations of $A$. We have then that an abstract differential operator $D$ affiliated to $A$ is invertible if, and only if, $\varphi (D)$ is invertible for all $\varphi \in \mathcal{F}$. This property characterizes exhausting families of representations. We provide necessary and sufficient conditions for a family of representations to be exhausting. If $A$ is a separable $C^{\ast }$-algebra, we show that a family $\mathcal{F}$ of representations is exhausting if, and only if, every irreducible representation of $A$ is (weakly) contained in a representation $\varphi \in \mathcal{F}$. However, this result is not true, in general, for non-separable $C^{\ast }$-algebras. A typical application of our results is to parametric families of differential operators arising in the analysis on manifolds with corners, in which case we recover the fact that a parametric operator $P$ is invertible if, and only if, its Mellin transform $\hat{P}(\tau )$ is invertible, for all $\tau \in {\mathbb{R}}^n$. The paper is written to be accessible to non-specialists in $C^{\ast }$-algebras.

Remarques à propos de l'opérateur de Dirac cubique

CRAS, 2010. [.pdf]

Nous donnons une démonstration simple de la célèbre formule de Kostant-Parthasarathy. (...) En 1999, Kostant introduit un opérateur de Dirac cubique $D_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}^{}$ associé à tout triplet $(\mathfrak{g},\mathfrak{h},B)$, où $\mathfrak{g}$ est une algèbre de Lie complexe munie de la forme bilinéaire symétrique $ad\mathfrak{g}$-invariante non dégénérée $B$, et $\mathfrak{h}$ est une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{g}$ sur laquelle $B$ est non dégénérée. Kostant montre alors que le carré de $D_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}$ vérifie une formule qui généralise la célèbre formule de Parthasarathy. Nous donnons ici une nouvelle démonstration de cette formule. Tout d'abord, au moyen d'une induction par étage, nous montrons qu'il suffit d'établir la formule dans le cas particulier où $\mathfrak{h}=0$. Il apparaît alors que, dans ce cas, l'annulation du terme d'ordre 1 dans la formule de Kostant pour $D_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}^2$ est une conséquence de propriétés classiques en cohomologie des algèbres de Lie, tandis que le fait que le carré du terme cubique soit scalaire résulte de telles considérations, ainsi que de l'identité de Jacobi.

Métriques positives sur les espaces homogènes réductifs

CRAS, 2007. [.pdf]

Étant donnés un groupe de Lie semi-simple réel $G$ et un un sous-groupe réductif $L$ de $G$ sur lequel la forme de Killing est non-dégénérée, définissons une famille de métriques riemanniennes sur $G/L$, indexées par les points de $G/K$, (...) Étant donnés un groupe de Lie semi-simple réel $G$ et un un sous-groupe réductif $L$ de $G$ sur lequel la forme de Killing est non-dégénérée, définissons une famille de métriques riemanniennes sur $G/L$, indexées par les points de $G/K$, où $K$ est un sous-groupe compact maximal de $G$. Nous utilisons ces métriques pour généraliser un lemme de Rawnsley, Schmid et Wolf de la théorie des représentations associées aux variétés de drapeaux. De plus, nous montrons que la représentation de $G$ par translation à gauche sur l'espace des formes de carré intégrable sur $G/L$, n'est pas uniformément bornée.

Hypoellipticity and Dolbeault cohomology representations for U(p,q)

Preprint, 2007. arXiv:0705.2800 [.pdf]

Soit $G/L$ une variété de drapeaux pour un groupe réductif réel $G$ et $K$ un sous-groupe compact maximal de $G$. En utilisant une distribution tranverse aux fibres de la fibration $G/L\cap K\to G/L$, nous définissons un opérateur différentiel équivariant sur $G/L\cap K$ jouant le rôle du laplacien de Dolbeault pour la variété complexe $G/L$. (...) Soit $G/L$ une variété de drapeaux pour un groupe réductif réel $G$ et $K$ un sous-groupe compact maximal de $G$. En utilisant une distribution tranverse aux fibres de la fibration $G/L\cap K\to G/L$, nous définissons un opérateur différentiel équivariant sur $G/L\cap K$ jouant le rôle du laplacien de Dolbeault pour la variété complexe $G/L$. En dépit du fait que la distribution choisie satisfasse à la condition de H&otrema;rmander, nous conjecturons que cet opérateur n'est pas hypoélliptique maximal dans le degré où la cohomologie du complexe de Dolbeault sur $G/L$ est non-nulle. Ce preprint présente une preuve complète de cette conjecture dans le cas $G=\mathrm{U}(p,q)$ et $L=\mathrm{U}(p^{\prime })\times \mathrm{U}(p^{″},q)$, où $p^{\prime }+p^{″}=p$ (ainsi que lorsque $G$ est un groupe de Lie de rang réel 1).

K-theory for Sp(n,1)

Journal of Functional Analysis, 221(1), 2005. [.pdf]

Cet article reprend les chapitres 2 et 3 de ma thèse, tout en les améliorant. (...) Cet article reprend les chapitres 2 et 3 de ma thèse, tout en les améliorant. A l'aide d'une étude topologique du dual unitaire des groupes $G=\mathrm{Sp}(n,1)$, nous construisons une suite de composition de la C*-algèbre maximale d'un tel groupe, permettant le calcul explicite de ses groupes de K-théorie en termes de représentations unitaire de $\mathrm{Sp}(n,1)$. Nous montrons notamment que le morphisme $$C^{\ast }(G)⟶C_r^{\ast }(G)\oplus (\oplus \mathcal{K}({\mathcal{H}}_{\pi }))$$ (où les ${\mathcal{H}}_{\pi }$ sont les quotients de Langlands unitaires isolés de la série principale) induit une KK-équivalence. Nous calculons ensuite l'image de l'application de Baum-Connes maximale, c'est-à-dire à valeurs dans la K-théorie de la C*-algèbre maximale.

C*-algèbres de Sp(n,1) et K-théorie thèse.

Thèse, 2003. [.pdf]

Cette thèse est consacrée à la K-théorie des C*-algèbres de groupes, maximales et réduites. Nous nous intéressons ici plus particulièrement aux groupes d'isométries d'un espace hyperbolique quaternionien, $\mathrm{Sp}(n,1)$. (...) Cette thèse est consacrée à la K-théorie des C*-algèbres de groupes, maximales et réduites. Nous nous intéressons ici plus particulièrement aux groupes d'isométries d'un espace hyperbolique quaternionien, $\mathrm{Sp}(n,1)$. Nous donnons une description explicite de la K-théorie de la C*-algèbre maximale d'un tel groupe en fonction de certaines de ses représentations unitaires irréductibles, dites séries isolées. Alors que chacune de ces représentations contribue à la K-théorie par une copie des entiers, il faut noter toutes ne sont pas des points ouverts du dual unitaire, muni de la topologie de Fell. Ceci est une conséquence du travail effectué en appendice, dans lequel nous déterminons la structure en idéaux bilatères de la C*-algèbre maximale. Ces résultats de K-théorie servent ensuite à calculer l'image de l'application d'assemblage de Baum-Connes, qui à chaque représentation d'un sous-groupe compact maximal, associe l'indice en K-théorie d'un opérateur de Dirac sur l'espace hyperbolique. En utilisant alors des propriétés d'universalité de l'opérateur de Dirac, nous calculons l'indice d'un opérateur défini par H.W. Wong, et lié à la construction géométrique (induction cohomologique) des séries isolées.